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1、第六章 关于标准中的10个核心概念在总结前期实验经验的基础上，通过广泛听取各方意见和建议，此次标准提出了10个核心概念。这就是：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。核心概念有何意义呢？首先应该注意到，这些核心概念的内涵在性质上是体现的学习主体学生的特征，它们涉及的是学生在数学学习中应该建立和培养的关于数学的感悟、观念、意识、思想、能力等，因此，可以认为，它们是学生在义务教育阶段数学课程中最应培养的数学素养，是促进学生发展的重要方面。第二，标准将这些核心概念放在课程内容设计栏目下提出，是想表明，这些概念不是设计者超乎于数学课程内容之
2、上外加的，而是实实在在蕴涵于具体的课程内容之中，或者与课程内容紧密结合的。从这一意义上看，核心概念往往是一类课程内容的核心或聚焦点，它有利于我们把握课程内容的线索和层次，抓住教学中的关键。并在数学内容的教学中有机地去发展学生的数学素养。第三，深入一步讲，核心概念本质上体现的是数学的基本思想。数学的基本思想指对数学及其对象、数学概念和数学结构及数学方法的本质性认识。数学基本思想集中反映为数学抽象、数学推理和数学模型思想。这些思想是数学学习中的重要目标。不难看出，核心概念对数学基本思想的体现是鲜明的。比如，与“数与代数”部分内容直接关联的数感、符号意识、运算能力、推理能力和模型思想等核心概念就不同
3、程度的直接体现了抽象、推理和模型的基本思想要求。这启示我们，核心概念的教学要更关注其数学思想本质。第四，这些核心概念都是数学课程的目标点，也应该成为数学课堂教学的目标，并通过教师的教学予以落实。仅以“数学思考”和“问题解决”部分的目标设定来看，标准就提出了：“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力”；“发展数据分析观念，感受随机现象”；“发展合情推理和演绎推理能力”；“增强应用意识，提高实践能力”；“体验解决问题方法的多样性，发展创新意识”。这些目标表述几乎涵盖了所有的核心概念。综上所述，把握好这些核心概念无论对于教师教学和学生学习都是极为重要的。第一节 数感一般人提起数感，
4、总感到它是比较玄乎的。也有人质疑，像数感这种因人的感觉而异的、较“虚”的东西有必要作为核心概念提出来吗？一些老师也感到数感作为课堂教学目标不好把握。这些情况说明，我们有加强对数感认识的必要。 一、两个实例给人的启示实例一：2010年2月25日，国家统计局公布的2009年国民经济和社会发展统计公报显示：我国70个大中城市房屋销售价格同比上涨1.5%，其中新建住宅价格上涨1.3%。此报告一出立刻引起全国一片哗然。公众普遍反映此数据与实际状况严重不符。面对公众质疑，国家统计局召开紧急会议，讨论统计数据来源是否真实可靠？统计方法是否科学？舆论提出的一个问题是：不论统计部门统计方式是否科学，为何公众对房
5、价的感觉与统计结果是大相径庭的呢？此例说明数感的确是存在的，它与公众的社会生活息息相关，并已成为现代社会公民所具有的基本数学素养的一部分。实例二：一老师在教学指数幂的意义时，抛出一个现实情境问题：将一张纸对折32次，它的厚度有多大呢？老师给出的结论使学生在感到惊讶之余，更表示出强烈的质疑。该问题的结论是：其厚度可以超过世界最高峰珠穆朗玛峰的高度。毫无疑问，这样的问题会像磁石一样，紧紧吸引学生的注意力，使学生产生一种“不见结果不信服”的学习内驱力。此例就其实质看，教师在这里利用的是，学生基于实际操作（将纸对折若干次）所建立起来的对2的直观感觉与数学科学计算得出的结果之间的巨大反差，由此创设出一个
6、生动的极富吸引力的学习环境。这一实例说明，学生在学习数学概念时，其固有的数感不仅在起作用，而且老师若能适时地利用学生原有数感的特点，使其形成课堂教学中的认知冲突，则能大大提高课堂教学的效率。二、对数感的基本认识“数感”一词的英文表述为“Number Sense”，可翻译为多种意思，如感觉、感官、理念、意识、领悟等等。那么，反映在数学课程中的数感基本内涵究竟应该如何理解呢？事实上，在这一点上人们的认识仍然是多元的。1.一些关于数感内涵的说法。因篇幅所限，这里不一一详述国内外关于数感的种种说法，只将其做大致的梳理。归纳成这样几类：其一，认为数感是“关于数字（量）的一种直觉”；其二，认为数感与语感、
7、方向感、美感等类似，都会有一种“直感”的涵义，具有对特定对象的一种敏感性及相关的鉴别（鉴赏）能力；其三，认为数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度和意识，是一种基本的数学素养；其四，认为数感包含感觉、知觉、观念、能力，可以用“知识”来统一指称，这一知识是程序性的、内隐的、非结构性的。2标准对数感的表述课标实验稿首次明确提出了培养学生数感，但未对数感内涵做解释，而是采用外延描述的方式，提出“数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。”在
8、新课程实验中，广大第一线教师在课堂教学实践中对培养学生的数感做了许多有益的探讨，也形成了不少研究成果。此次修订，认真听取了各方意见，吸纳了前期实验研究的一些成果，重新对数感的内涵及功能作了表述。标准的提法是：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”将数感表述为感悟不仅使这一概念有了较大的包容性，也使得这一概念有了更实在的意义，有利于一线教师的理解和把握。在前期课程实施中，人们对数感内涵的认识较多强调其直觉、感知、潜意识、经验等方面，在教学中教师也常常有“虚无缥缈”之感，找不到教学支点。将数感表述
9、为感悟，揭示了这一概念的两重属性：既有“感”，如感知，又有“悟”，如悟性、领悟。“感是外界刺激作用于主体而产生的，是通过肢体（如感官等）而不是通过大脑思维，它含有原始的、经验性的成分。悟是主体自身的，是通过大脑思维而产生的。感悟是既通过肢体又通过大脑，因此，既有感知的成分又有思维的成分。”（史宁中，吕世虎，对数感及其教学的思考数学教育学报，2006年2期）标准将这种对数的感悟归纳为三个方面：数与数量、数量关系、运算结果估计，这主要是基于义务教育阶段数学课程内容的范围并根据学生的实际所作出的要求，这有利于教师在教学中更好地把握数感培养的几条主线。关于数与数量。在小学低段，儿童对数的感悟是从数数学
10、习辨认各组实物对象的多少开始建立的。这是一个逐渐展开的过程。儿童对多少的感悟离不开具体的情境，这样他就需经历一个察觉实物集合中所包含的物体数量多少的过程，从而积累并形成对量的多少的感知。学习用数表示多少的第一步就是数数，即用自然数表示多少。在数数的过程中，他们能把数量词与其代表的少量物体联系起来，逐渐过渡到数大量的物体；与此同时他们会形成这样的经验：数数的顺序不会改变数的结果；数的过程中下一个数比前一个数多一；数数中的最后一个数不但代表这个数，也代表了这组物体的总数（事实上就是序数与基数相等）。随着学习年级的增高，学生还会经历更多的对数意义的感悟，如对分数、负数、有理数，并形成对数的各种表征方
11、式，比如，他们会知道1/4，25%，0.25是同一个数的不同表示。对数与数量建立起来的数感常常与实际情境关联，比如对数量单位的认识，提起教室的长度，应该想到米，提到两个城市的距离则应该想到公里（千米），同样，一个小学生会质疑一个宣传牌中所说“7000平方米森林中生活着两只东北虎”是否成立？结合实际情境，学生的数感起到了判断的作用（本文开始的实例一也说明了这一点）。关于数量关系。这是培养学生数感的另一个层次。不同年龄段的学生在理解了所学数的意义及表征后，他就具备了理解一定数量关系的基础。比如学生在学习分数概念后，会建立起整体与部分之间关系的感悟，依赖于具体情境或图形，会分辨两个分数的大小，“随着
12、他们数感的增强，学生应该能够用数进行推理。例如1/2+3/8一定小于1，因为每个加数都小于或等于1/2。”（美国学校数学教育的原则和标准，蔡金发等译，人民教育出版社，2004年12月，第33页）。随着年级的升高和数系的扩展，学生对数量关系的感悟会逐步提升，比如对有理数的大小，以至于一些函数所表示的数量关系的感悟。学生对一些相对综合，而显得复杂一点的数量关系的感悟是常常伴随着具体的问题情境而展开的。比如，具有一定数感的学生坐上出租车，他不会对车上的计程器熟视无睹，他会关注跳动的数码，并对数码变动的间隔时间、出租车已行路程、起步价以及每公里价、到达目的地的路程等等数量及相互关系在头脑中作出反应，并
13、形成判断。这里的数感是对具体问题所涉及的数量关系的整体把握。 关于运算结果估计。这是培养学生数感很重要的一个方面。数的运算是数学课程中所占学时较多的内容，过去，这一部分内容的学习我们更多的是关注运算法则的掌握和运算技能的训练，其实通过运算培养学生的估算意识和能力，以此发展学生的数感也应该成为课程教学的目标。所以，标准在课程内容中特别是“数与代数”部分多处提到估计及估算的要求。如，“在生活情境中感受大数的意义并能进行估计”，“能结合具体情境，选择恰当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用”（一学段）；“在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算”，“会根据给出的有正比例关系的数据在方格子上
14、画图，会根据其中一个量的值估计另一个量的值”（二学段）；“能用有理数估计一个无理数的大致范围”（三学段）。其实，对运算结果的估计涉及的因素很多：对参与运算的数与量意义及关系的理解、对运算方法的选择与判断、对运算方式角度的把握、对具体情境的数量化的处理等等，所以，对运算结果的估计反映的是学生对数学对象更为综合的数感。三、 关于学生数感的培养数感既然是对数的一种感悟，它就不会象知识、技能的习得那样立竿见影，它需要在教学中潜移默化，积累经验，经历一个逐步建立、发展的过程。1、重视低段学生对数的感觉的建立，并在数感培养上处理好阶段性和发展性的关系在教学中培养学生的数感在第一学段是重点。标准在第一学段目
15、标中明确指出：“在运用数及适当的度量单位描述现实生活中的简单现象，以及对运算结果进行估计的过程中，发展数感。”这一学段教学要选择适合学生年龄特征的方式，提供实物，联系身边具体事物，观察操作、游戏等都是较好的方式。比如刚入学的儿童在认识10以内数的时候，应该通过实数、图片等，将数与物对应起来；以后在认识20以内、100以内的数时，可以对具体实物通过估一估、数一数等活动帮助学生形成对十、百等数量大小的感觉，如数100粒黄豆、100根小棒，估计教室里的学生人数，估计一堆水果的数量等。我们还可以就同一个数在实际生活中的多种意义所表现的数量来加强对数的感知。比如1200张纸大约有多厚？你的1200步大约
16、有多长？1200名学生站成做广播操的队形需要多大的场地？类似这样的问题可让学生举一反三。应结合每一学段的具体教学内容，逐步提升和发展学生的数感。比如在二学段应结合学生所熟悉的现实素材感受大数的意义，并能对一些问题进行估算；能了解负数的意义，用负数表示日常生活的问题，建立起对负数的数感。在第三学段，随着对数的认识领域的扩大以及数的认识经验的积累，可以引导学生在较复杂的数量关系和运算问题中提升数感，发展更为良好的数感品质。2、紧密结合现实生活情境和实例，培养学生的数感现实生活情境和实例，与学生的实际生活经验密切相连，不仅能够为学生提供真实自然的数的感悟环境，也能让学生在数的认知上经历由具体到抽象的过程，逐步发展学生关于数的思维。反之，学生数感的提升也使得他们能用数字的眼光看周围世界，正如标准所说：“建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”
