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1、正多边形和圆、课前预习1 .圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正A.扩大了一倍B.扩大了两倍2 .正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为A.3 ： 2 ： 1B.4 ： 3 ： 2n边形的边长与半径之比（）C.扩大了四倍D.没有变化（）C.4 ： 2 ： 1D.6 ： 4 ： 33 .正五边形共有 条对称轴，正六边形共有 条对称轴.4 .中心角是45 的正多边形的边数是.5 .已知 ABC的周长为20,AABC的内切圆与边 AB相切于点D,AD=4,那么BC=二、课中强化1 .若正n边形的一个外角是一个内角的 2时，此时该正n边形有 条对称轴.32 .同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比
2、是 （）A捉B 3c逅D 4.2.4. 3. 33.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是（）A.S3S4S6B.S6S4S3C.S6S3S4D.S4S6S34.已知。和。上的一点 A（如图24-3-1）.（1）作。的内接正方形 ABCD和内接正六边形 AEFCGH ;（2）在题的作图中，如果点 E在弧AD上，求证：DE是。O内接正十二边形的一边图 24-3-1、课后巩固11.正六边形的两条平行边之间的距离为1,则它的边长为（）普B-Y2.已知正多边形的边心距与边长的比为A.正三角形B.正方形2.3C.31 1 二，-,则此正多边形为（）2C.正六边形3D
3、.3D.正十二边形3 .已知正六边形的半径为 3 cm,则这个正六边形的周长为 cm.4 .正多边形的一个中,心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于 度.5 .如图24-3-2 ,两相交圆的公共弦AB为2、/3,在。Oi中为内接正三角形的一边，在。2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比6.某正多边形的每个内角比其外角大100,求这个正多边形的边数图 24-3-27.如图24-3-3,在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半,径最小应为多少?（小组之8.如图24-3-4,请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个
4、图形间参与交流、评价).图 24-3-410.如图 24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、24-3-6(n) , M、N 分别是。的内接正三角形ABC、正方形 ABCD、正五边形 ABCDE、正n边形ABCDE- 的边AB、BC上的点, 且 BM=CN ,连结 OM、ON.(2)图 24-3-6求图24-3-6(1)中/ MON的度数;(2)图 24-3-6(2)中/ MON 的度数是图24-3-6(3)中/ MON 的度数是试探究/ MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).例题讲解1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正A.扩大了一倍B.扩大了两倍n边形的
5、边长与半径之比()C.扩大了四倍D.没有变化思路解析：由题意知圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正n边形的边长也扩大一倍，所以相应的圆内接正 n边形的边长与半径之比没有变化.答案：D2 .正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为()A.3 ： 2 ： 1B.4 ： 3 ： 2C.4 ： 2 ： 1D.6 ： 4 ： 3思路解析：如图，设正三角形的边长为a,则高AD= 33a,外接圆半径 oa= a,边心、品巨OD=-2a,6所以 AD ： OA ： OD=3 ： 2 ： 1.答案：A3 .正五边形共有 条对称轴，正六边形共有 条对称轴.思路解析：正n边形的对称轴与它的边数相同.答案：5 64 .中
6、心角是45 的正多边形的边数是.思路解析：因为正 n边形的中心角为 360-,所以45 =360-,所以n=8. nn答案：85 .已知 ABC的周长为20,AABC的内切圆与边 AB相切于点D,AD=4,那么BC=思路解析：由切线长定理及三角形周长可得.答案：6二、课中强化1 .若正n边形的一个外角是一个内角的2时，此时该正n边形有 条对称轴.3思路解析：因为正 n边形的外角为 竺0一个内角为(n 2)?180 , nn所以由题意得360-=2 .(n 2)?180 ,解这个方程得n=5.答案：5 n 3 n2 .同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是()、632_64.2.4. 3.
7、3思路解析：画图分析，分别求出正三角形、正方形的边长，知应选 A.答案：AA.S3S4S6B.S6S4S3C.S6S3S4D.S4S6S33 .周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是()思路解析：周长相等的正多边形的面积是边数越多面积越大答案：B4 .已知。和。上的一点 A(如图24-3-1).(1)作。的内接正方形 ABCD和内接正六边形 AEFCGH ;(2)在题的作图中，如果点 E在弧AD上，求证：DE是。O内接正十二边形的一边图 24-3-1思路分析：求作。的内接正六边形和正方形，依据定理应将。 。的圆周六等分、四等分，而正六边形的边长等于半径；互
8、相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分.要证明DE是。内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明DE所对圆心角等于 360勺2 =30 )作法：作直径AC；作直径BD XAC;依次连结A、B、C、D四点，四边形ABCD即为。O的内接正方形；分别以A、C为圆心，OA长为半径作弧，交。于E、H、F、G;顺次连结 A、E、F、C、G、H各点.六边形AEFCGH即为。O的内接正六边形.(2)证明：连结OE、DE. / AOD = 360- = 90, / AOE = 360- = 60,46DOE = / AOD -Z AOE= 30. .DE为。O的内接正十二边形的一边三、课后巩固1,正六边形的两条平
9、行边之间的距离为1,则它的边长为（）3A.6B 3B.4D.T思路解析：正六边形的两条平行边之间的距离为1,所以边心距为30.5，则边长为-y .答案：D2.已知正多边形的边心距与边长的比为-,则此正多边形为（2A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正十二边形思路解析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选B.答案：B3 .已知正六边形的半径为 3 cm,则这个正六边形的周长为cm.思路解析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用P6= 6an求出周长.答案：184 .正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于度.答案：144.5 .如图24-3-2 ,两相交圆的公共
10、弦 AB为2上,在。1中为内接正三角形的一边，在。 02中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比R3与思路分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半径R6的平方比即可.解：设正三角形外接圆O 。1的半径为R3,正六边形外接圆。02的半径为R6,由题意得R6=AB ,R3 : R6= J3 : 3.1.O Oi 的面积：O O2 的面积=1 : 3.6 .某正多边形的每个内角比其外角大100,求这个正多边形的边数.思路分析：由正多边形的内角与外角公式可求r解：设此正多边形的边数为n,则各内角为(n 2)?180 ,外角为 竺_,依题意得nn(n 2)?180 360= 1
11、00 .解得 n=9.nn7 .如图24-3-3,在桌面上有半径为 2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半r径最小应为多少？思路分析：设三个圆的圆心为 。1、。2、。3,连结。1。2、。2。3、。3。1,可得边长为4 Cm 的正 O1O2O3,设大圆的圆心为 O,则点。是正 O1O2O3的中心，求出这个正 O1O2O3 外接圆的半径，再加上。 。1的半径即为所求.解：设三个圆的圆心为。1、。2、O3,连结。1。2、。2。3、。3。1,可得边长为 4 Cm的正.一4.3 O1O2O3 ,则正O1O2O3外接圆的半径为 cm ,所以大圆的半径为34 .3
12、4.3 6亏+2= (cm).(小组之8 .如图24-3-4,请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形 间参与交流、评价).图 24-3-4答案：略.9 .用等分圆周的方法画出下列图案:图 24-3-5作法:4个圆;(1)分别以圆的4等分点为圆心，以圆的半径为半径，画(2)分别以圆的6等分点为圆心，以圆的半径画弧10 .如图 24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、24-3-6(n) , M、N 分别是。的内接正三角形ABC、正方形 ABCD、正五边形 ABCDE、正n边形ABCDE- 的边AB、BC上的点, 且 BM=CN ,连结 OM、ON.图 24
13、-3-6求图24-3-6(1)中/ MON的度数;(2)图 24-3-6(2)中/ MON 的度数是图24-3-6(3)中/ MON 的度数是,试探究/ MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).答案：(1)方法一：连结 OB、OC. 正 ABC内接于。O, ./ OBM= / OCN= 30,/ BOC=120 .又 BM=CN , OB=OC , .OBMA OCN. ./ BOM =Z CON. ./ MON= ZBOC=120方法二：连结OA、OB. 正 ABC内接于。O, .AB=AC , / OAM= Z OBN=30 ZAOB=120 .又.BM=CN, .1. AM=BN.又OA=OB, /.A AOM BON. ./ AOM= / BON. ./ MON= ZAOB=120(2)90 72(3) / MON=360n
