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1、简析数列通项公式的几种常用求解方法摘要:求数列的通项公式是高中数学教学的重点,是学生学习的难点,也是高考考查的热点。 关键词:数列;求解;方法求数列的通项公式是高中数学教学的重点,是学生学习的难点,也是高考考查的热 点。关于数列通项公式的题目多种多样,但是万变不离其宗,求解数列通项公式的常见题型有 以下九种:观察法例 1：根据数列的前 4 项，写出它的一个通项公式：1)9，99，999，9999，2),210,416173）1,34)124解：（1）变形为：101 1, 1021, 1031, 1041,通项公式为：a = 10n - 1nn 22n(2) a = n +；(3) a 二 ；(
2、4) a 二(-1)n+1 -.n n 2 +1n n +1nn +1观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系。二、定义法例2：已知数列a”是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q的(qUR且qM1)的等 比数列,若函数 f (x) = (x 1)2,且 a1= f (d 1), a3 = f (d+1), b1 = f (q+1), b3= f (q 1),(1)求数列 a n 和 b n 的通项公式；解：(1)Va 1=f(d1) ； (d2)2, a 3= f (d+1)= d2, a3a1=d2(d2)2=2d,.*.d=2,Aan=a1+(n1)d = 2(n1)； 又 b1=f
3、 (q+1)= q2, b3 =f (q 1)=(q 2)2, ”3 =(9 习=q2，由 qUR,且 qM1,得 q= 2,b1q2b =b qn1=4 (2)1 当已知数列为等差或等比数列时,可直接利用等差或等比数列的通项公式,只需求得首 项及公差公比。三、叠加法-、例 3：已知数列 6, 9, 14, 21, 30,求此数列的一个通项。解 易知 a - a = 2n - 1,n n -1* a - a = 3,21a -a =5,32a -a = 7,43a -a =2n-1, nn -1各式相加得 a 一 a = 3 + 5 + 7 4卜(2n 一 1) a = n2 + 5 (n e
4、 N)n 1n一般地，对于型如a= a + f (n)类的通项公式，只要f (1) + f+ f (n)能进n 41n行求和，则宜采用此方法求解。例4：在数列 an 中，a 1 =1,四、叠乘法(n+1) a =n an，求 an 的表达式。 n+1an解：由(n+1) a =n an 得 n+1 =.n+1a n + 1n1 2 3n 一1 1 2 3 4 n n1123n-1一般地，对于型如a = f (n) an类的通项公式,n+11所以a =nn当f (1) - f (2) f (n)的值可以求得时，宜采用此方法。五、公式法若已知数列的前n项和S与a的关系，求数列的通项a可用公式n n
5、nnJS求解。a = 2 时11a =s s =(n21)(n1)21=2n1n nn 10(n = 1)由于a不适合于此等式。.a =f1n2n 1 (n 2)注意要先分n=1和n 2两种情况分别进行运算，然后验证能否统 例6.设数列的首项为州=1，前n项和S满足关系n1n3tS - + 3) S= 3t (t 0, n = 2,3,4,.)nn -1求证：数列L 是等比数列。n解析：因为 3tS (2t + 3)S= 3t(t 0, n = 2,3,4,)(1)nn -1所以 3tS (2t + 3)S= 3t(t 0, n = 2,3,4,)(2)n-1n- 2(1)-得:3t(S S
6、) - (2t + 3)(S S) = 0(t 0,n = 2,3,4,)nn -1n -1n -23ta 一 (2t + 3)a= 0= (n 2, n e N)nn-1a3t所以，数列b 是等比数列。-1n六、阶差法例7已知数列b 的前n项和S与a的关系是nnnS = -ba +1 -1n n(1 + b) n求出用n和b表示的an的关系式。，其中b是与n无关的常数，且b工-1。IS n= 1解析：首先由公式：a = 2nn-1=b=(1 + b)2=b+ 命(n 2)bab +1 n-1()2 ab +1n-2b2+(b +1)n+1n-2二(丄)3 ab +1n-3b3+(b +1)n
7、+1(b+1)n-2 a2bb n-1=()n-1 a +b+11(b +1) n+1b、Ib +1 丿 bn(b +1)n+1b + b2 + b3 HF bn-1+(b H 1)nH1b + b 2 +. + bn-1+n-1a1(b +1)n+1b + b2 + + bna = vn(1 + b) n+1n2 n +1 b b n +1b丰1(1b)(1+b)n+1利用阶差法要注意：递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系，即 其和为 n 。七、待定系数法 例8：设数列c 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若s=2, c2=4, c3=7,n123c4=12，求通项公式c4
8、n解:设 c = a + (n 1)d + bqn1nq = 2d = 1 sb = 1a = 1n c = n + 2n-1na + b = 2a + d + bq = 4a + 2d + bq 2 = 7a + 3d + bq 3 = 12点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地,若数列a 为等差数列:n比数列，则a = Aqn-i,n则a = bn + c , s = bn2 + cn (b、c为常数)，若数列a 为等nnns = Aqn A (Aq 丰 0, q 丰 1)。 n八、辅助数列法有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造
9、出一个新的数列为 等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。例9在数列b 中，a = 1,n121解析：在a = a +a n + 23 n +13a = 2 ， a2n+221=a + a3 n+13两边减去 a ， nn +1，求 a 。 nn=_ (a a )3n+1na a 是以a an +1 n211a a = ( )n-1，由累加法得n +1 n3得a an+2n+11=1为首项，以-为公比的等比数列,a = (a a ) + (a a ) + + (a a ) + an nn1n1n 22111111(3)n131=()n-2 + ( ) n3 + ()+ 1 + 1=3 =
10、 _ 1 ( ) n1 + 133311431 +314( - 3)n 一1例10. (2003年全国高考题)设a为常数，且a = 3n-i - 2a( n e N*),0nn -11证明：对任意 n三 1, a =匚3n + (1) - 2n + (1)n - 2n - an 50证明：设，a t 3n 2(a t 3n-1)nn -11用a 3n-1 2a代入可得t nn15 a 二是公比为-2，首项为a厂3的等比数列,n 5 1 53n3a (1 2a _). (2)n1 ( n e N *),n 505即：3 n + (1) n1 2 n a n5型如an+1=pan+f(n) (p为
11、常数且pHO, pHl)可用转化为等比数列等.(1)f(n)= q (q为常数)，可转化为an+1+k=p(an+k)，得 a“+k 是以a1+k为首项，p为公比的 等比数列。例11：已知数a 的递推关系为a 2a +1，且a 1求通项a。nn+1n1n解：丁 a 2a +1n+1n a + 1 2(a + 1)n+1n令 b a +1nn则辅助数列b 是公比为2的等比数列 a 2n 1nnb b qn1 即 a +1 (a + 1)qn1 2n n1n1例12：已知数列 ana中 a 1 且 a n1n+1a + 1nneN )，求数列的通项公式。，设 b ，则 b b +1n an+1 n
12、na解：丁a =nn+1a + 1n1 a + 11n + 1， aa an +1nn故 bn 是以竹=-=1为首项，1为公差的等差数列b 二 1 + (n 1)二 nn11/. a =n b nn例B (07全国卷II理21)设数列匕的首项ai e (0，D，3an1, n 2?3?4, .2(1)求a 的通项公式;n解：(1)由a整理得n = 2,3,4, ，211 a 二(1 a ).n2n1丰0，所以1 a 是首项为1 a,公比为- 2的等比数列，得12注：一般地，对递推关系式an+1=pan+q (p q为常数且，pHO, pHl)可等价地改写成a - P(a - )贝i a - 成等比数列，实际上，这里的厂乙 是特征方 n+1 1 pn
