《用反证法证明施泰纳》由会员分享，可在线阅读，更多相关《用反证法证明施泰纳（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、用反证法证明施泰纳-莱默斯定理本文及本章后面几段阅读资料参考了贺贤孝的证明的艺术一书(湖南教育出版社，2000年6月第1版).我们知道，等腰三角形两个底角的平分线相等.反过来，有两个角的平分线相等的三角形是否为等腰三角形呢？德国柏林的莱默斯(C.L.Lemhus)研究了这个问题，并向著名几何学家施泰纳请教，1840年，施泰纳给出了第一个证明.为此，该定理称为施泰纳-莱默斯定理.如图1所示，在ABC中，BD,CE分别是/ABC,/ACB的平分线，且BD=CE.求证：AB=AC.图1如图2所示，施泰纳将BCD与厶CBE分别移到厶BCD和厶BCE的位置，连接DE.由BD=CE，得BD=BE，故/1=
2、/2.假设ABMACABVAC或ABAC.如果ABVAC，那么/ACBV/ABC.11从而/ACE=-/ACBV/ABC=/ABD.22所以/BDC二/BDC=/A+/ABD/A+/ACE=/BEC=/BEC，即/BDC/BEC.又/1=/2，所以/3/4.所以CECD，g卩BECD.在厶BCD与厶CBE中，BD=CE，BC=CB，CDVBE，故/CBDV/BCE，即1/ABCv1/ACB,22于是/ABCAC,与假设ABvAC相矛盾，故ABvAC是不可能的.同理可证ABAC也是不可能的.从而，AB=AC.施泰纳的参与引起了各国数学家的兴趣.100多年来，该定理的证明层出不穷.20世纪80年代美国数学教师杂志提出征解，结果收到了从美国、加拿大、丹麦、以色列、埃塞俄比亚和罗马尼亚寄来的2000多封信，共提出80多种证法.不仅如此，人们更深入到它的孪生问题：如果一个三角形的两个角的外角平分线（简称外分角线）相等，那么这个三角形是否为等腰三角形？利用代数方法，数学家们证明了如下的结论：两外分角线相等且第三角为该三角形的最大内角或最小内角时，此三角形是等腰三角形.
