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1、文件 sxcbk0062.doc科目 数学关键词 一元一次方程/应用/教法建议标题 一元一次方程解法和应用内容一元一次方程解法和应用一、教法建议 【抛砖引玉】本单元主要内容是一元一次方程和它的标准方程等概念，解一元一次方程一般步骤和具体做法，以及列出一元一次方程解应用题。这些内容是从算术到代数的标志之一，是初中数学教学的体系的重要组成部分，在提高学生的能力，培养他（她）们对数学的兴趣以及对他（她）们进行思想教育方面有着独特的意义，同时对后继学习内容也起看奠基的作用。因此，教学一元一次方程的概念及其解法时，应先从过去学过的简易方程出发，运用等式的两条性质将方程变形，求出未知数的值。然后逐步给出比
2、简易方程更为复杂的方程，着重分析怎样变形，才能把它们化简，并从中归纳出各类变形的名称（移项，合并同类项，系数化成1，去括号，去分母等），在此基础上，把化简后所得的方程axb=0（a0）定义为一元一次方程的标准方程，把能化为这种标准方程的整式方程定义为一元一次方程。定义了一元一次方程后，立即给出解这类方程的一般步骤，再灵活运用这一步骤解方程。在教学列出一元一次方程解应用题时，应首先引导学生找出题目中的已知数，未知数和表示应用题全部含义的相等关系，然后根据这一相等关系，用字母替代未知数，列出需要的代数式和方程，再解这个方程求出未知数的值，从而把“未知”转化为“已知”。在对应用题的具体教学时，重点应
3、放在如何找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。如果找不出这样的相等关系，方程就列不出来；反过来，在找出这样的相等关系后，将其中涉及的待求的某个数设成未知数，其余的数用已知数或含有已知数与未知数的代数式表示出来，方程就列出来了。问题也解决了。结合应用题的教学，有机地向学生介绍我国社会主义建设和20年来改革的成就，介绍我国在教学方面作出的贡献，激发学生热爱中国共产党，热爱社会主义，热爱祖国，决心为实现社会主义四化而学好数学。通过理论联系实际的方式，通过知识的应用，向学生进行唯物主义的数育，培养他（她）们学以致用的良好习惯，并提高他（她）们分析和解决问题的能力。 【指点迷津】本单元的重点是一元一
4、次方程的解法和列出一元一次方程解应用题，后者同时又是难点，熟练地解一元一次方程，关键在于正确地了解方程，方程解的意义和运用等式的两个性质；而正确的列出方程关键在于正确地分析应用题中的已知数，未知数，并能找出能够表示应用题全部含义的相等关系。在具体教学中，学生在列方程解应用题时，主要存在三个方面的困难：（1）抓不住相等关系；（2）找出相等关系后不会列方程；（3）习惯于用算术解法，对用代数法分析应用题不适应，不知道要抓相等关系。解决这三个困难时，重点应放在第一个，为了帮助学生解决第二困难，可帮助学生复习列代数式，进一步的强化与提高。在分析例题时，可采取表格的形式，帮助学生把找出的相等关系表示成方程
5、。为了解决第三个困难，应在教学中反复告诉学生：有些问题用算术解法是不方便的，最好用代数解法；只要找出相等关系，用等式表示出来，就列出方程；再利用解方程的方法，就可以求出未知数的值，随着应用题的复杂化，代数方法的优越性就更为突出。在教学中，训练有素，三个方面困难便可化解，列出一元一次方程解应题便可熟练掌握。二、学海导航 【思维基础】1.移项要 。2.它们或者不含分母，或者分母中不含未知数，将它们经过去分母，去 、 ，合并 等变形后，能转化为最简形式ax=b（a0），它只含 ，并且未知数的次数是 ，系数不等 ，我们把这一类方程叫做 。3.解一元一次方程的步骤是：去分母， ， ， ，系数化成1。4.
6、方程axb=0（其中x是未知数，a、b是已知数；并且a0）叫做 ，这里a是未知数的 ；b是常数项，习惯上与ax写在方程的左边。5.列出一元一次方程解应用题的方法：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ； 【学法指要】例1下列方程中，一元一次方程的个数有（ ）（1）x=5 （2）3x2y=0 （3）5x22=0 （4）3x2=3(x22x)（5）=9 （6）4x2=3x(2x) (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个指示思路：根据一元一次方程的概念：不含分母或者分母中不含未知数的方程经过适当变形后，能化成最简形式ax=b（a0），它只含有一个未知数，并且未知数的次数是1
7、，系数不等于0，这一类方程叫一元一次方程。由此可知：（1）、（4）符合条件，故应选（B）。例2解下列方程，并写出检验过程：（1）6x13=1 （2）10x1=14x3指示思路：（1）移项，得6x=113合并同类项，得6x=12系数化成1，得x=2检验：把x=2代入方程，左边=6213=1，右边=1左边=右边x=2是原方程的根。（2）移项，得10x14x=31合并同类项，得4x=4系数化成1，得x=1本例也可这样求解：移项，得13=14x10x合并同类项，得4=4x系数化成1，得1=x 即x=1检验：把x=1代入方程左边=1011=11 右边=1413=11左边=右边x=1为原方程的解。解方程时
8、，移项的根据是等式的性质，它是解方程的基础，要十分重视，且要牢记：移项要变号，移项时，习惯将含有未知数的项移到方程的左边，不含未知数的项移到方程的右边；但有时为减少负号的出现，把含未知数的项移到方程的右边，不含未知数的项移到方程的左边，从而避免出错的可能。注意1=x则x=1不是移项，而是等式的对称性。要养成检验的好习惯，可避免出错，防患未然。在以后的解方程过程中，检验不必写出。例3解方程：8y(82y)=3y2(4y7)指示思路：方程中有括号，应设法先去括号求解。去括号，得8y82y=3y8y14移项，得8y2y3y8y=148合并同类项，得y=22系数化成1，得y=22去分母去括号时，不要漏
9、掉乘括号中的项，并且要注意括号的符号；y=22不是方程的解，必须把y的系数化成1，才能完成解方程的过程，解方程，去括号后可先把左，右两边合并同类项，化简后再移项，再合并同类项，这样较简便，如 8y82y=3y8y14合并同类项，得10y8=11y14移项，得10y11y=148合并同类项，得y=22系数化成1，得y=22例4解方程：指示思路：方程中含有分母，应注意的地方有：（1）确定分母的最小公倍数是30；（2）不能漏乘不含分母的项；（3）方程中的三个分子在去分母后都应加上括号。去分母，得：，即6(x2)10(2x5)=3(x3)90去括号，得6x1220x50=3x990移项，得6x20x3
10、x=9901250合并同类项，得17x=119系数化成1，得x=7去分母时，为防止漏乘，初学时应写上开头的第一步，熟练后可省去。从上例可以看出，分数线有两层意义，一方面它是除号（包含“除”与“比”的意义），另一方面它又代表着括号，所以在去分母时应将分子用括号括括上。例5解方程：提示思路：方程中的分子，分母均含有小数，直接去分母比较麻烦，可先用分数的基本性质，化成整数，然后再去分母。原方程可化为：去分母，得291512(t3)=45t5(4t28)去括号，移项及合并同类项，得37t=259系数化成1，得t=7例6解方程：提示思路：此方程含有繁分式，应用分数的基本性质将繁分式化简后，再确定最佳解法
11、。原方程可化为：即 亦即去分母，得1444(2x1)=18x(25x10)去括号，移项，合并同类项，得x=138由上观之，解一元一次方程的五个步骤不一定要按照它的程序一定不变，要因题而异，灵活运用。如本例，先进行繁分式的化简，再去分母等。对本例也可逐一去掉分母的解法。都可达到予期的效果。当达到解一元一次方程十分得心应手时，解方程的步骤便可不写出来。例7在公式l=Lo (1at)中，已知L=80.096，Lo=80，=0.000012，求t指示思路：在这个公式中，虽然有L，Lo，t四个字母，但L，Lo，的数值为已知数，只有一个未知数t，因此，解关于t的一元一次方程即可。把L=80.096，Lo=
12、80，=0.000012分别代入公式中，得80.096=80(10.000012t)80.096=800.00096t0.00096t=0.096t=100用解方程的方法求公式中字母的值，在今后的数学，物理，化学课程的学习中经常用到，因此，应熟练掌握。例8某人从甲村出发去乙村，在乙村停留1小时后，又绕道丙村，再停留半小时后，返回甲村。去时的速度是每小时5千米，回来的速度是每小时4千米，来回（包括停留时间在内）一共用6小时30分钟。如果回来时因绕道关系，路程比去时多2千米，求去时的路程？指示思路：路程问题（即行程问题）涉及速度，时间，路程（即距离）三者关系，若设去时的路程为S千米，可列表如下速度
13、千米/时时间（小时）路程（千米）去5S/5S回4（S2）/4S2其它已知量停留（1）小时来回共用6小时回来时多走2千米从上表中可以清楚发现这样一个相等关系：走路的时间停留时间=总时间解：设去时的路程为S千米，依题意，得解这个方程得 S=10答：去时的路程为10千米。例9一个三位数，三个数位上的数字的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍，求字个三位数。提示思路：这道题含有这样一个相等关系：百位上的数十位上的数个位上的数=17设十位上的数为x，再分析上面相等关系，便可得到下珍：左边右边设十位上的数为x百位上的数为(x7)个位上的数为3x这个三位数为100(x7)10x3x三个数位上的数的和是17解：设十位上的数为x，依题意，得（x7）x3x=17解这个方程，得x=2个位上的数为6，百位上的数为9。故所求的三位数为926。答：所求的三位数为926。例10抗洪救災中，甲处有91名解放军战士，乙处有49
