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1、 非线性方程求根的数值算法分析非线性方程求根的数值算法分析 摘 要众所周知，代数方程求根问题是一个古老的数学问题。早在16世纪就找到了三次、四次方程的求根公式。但直到19世纪才证明了次的一般代数方程是不能用代数公式求解的，或者求解非常复杂。因此需要研究用数值方法求得满足一定精度的代数方程的近似解。在工程和科学技术中许多问题常归结为求解非线性方程的问题。正因为非线性方程求根问题是如此重要的基础，因此它的求根问题很早就引起了人们的兴趣，并得到了许多成熟的求解方法。本课题主要介绍非线性方程的数值解法是直接从方程出发，逐步缩小根的存在区间，或逐步将根的近似值精确化，直到满足问题对精度的要求，主要的方法
2、有逐步搜索法、二分法，迭代法，并写出这几种非线性方程的数值解法的算法步骤和例题，最后通过一个实际问题建立数学模型，用三种方法进行计算，得出结果并进行比较。 关键词： 非线性方程；寻根搜索法；二分法;迭代法；近似解THE ANALYSIS ABOUT NUMERICAL FOR SOLVING NONLINEAR EQUATIONABSTRACTAs we all know, it is an ancient problem about finding roots of algebraic equations. As early as 16th century ,people have foun
3、d extract roots formulas of cubic equation and quartic equation. But it was not until the 19th century general algebraic equation is pr oved that time cannot use algebraic formula,or solving very complex.Therefore need to be studied using numerical methods to obtain approximate solutions to meet cer
4、tain precision algebraic equations.There are many problems in engineering and science and technology often attributed to the problem of solving nonlinear equations. Because roots of non-linearequations on the basis of the problem is so important, so its the root problem have long attracted the inter
5、est of the people, and got many mature solu-tion.This topic mainly introduces the numerical solution of nonlinear equation that i-sdirectly from the equation, gradually reduce the existence of root range, or ro-ot of approximation will be accurate, until meet the requirements of the proble-m of accu
6、racy. There are three methods, the method of step searching, dichoto-myie and the method of iterative, and then I will write this several algorithm steps and examples of numerical methods for solution of nonlinear equation, fi-nally, I will establish a practical problem, and use three problems to so
7、lve the problem, at last, I will make a comparison of these three kinds of method. Key words: Nonlinear equations；Roots search method; Dichotomy; Iteration method; The approximate solutions目 录1 问题背景介绍12 问题的分析12.1 数值算法理论分析22.1.1逐步搜索法22.1.2二分法32.1.3 迭代法43 实际问题的提出及建模73.1实际问题的提出73.2 建立模型84 模型求解84.1逐步搜索法
8、求解94.2二分法求解94.3迭代法求解105 求解结果分析比较.105.1模型结果105.2模型结果分析106课程设计的总结与体会12参 考 文 献13附 录14 1 问题背景介绍我们都会解一元一次方程，对于二次方程，我们可以用熟悉的求根公式，而对于三次以上方程就不会解了。事实上，三次和四次方程的求根公式很复杂，五次以上代数方程一般无求根公式，至于一般的超越方程，更没有求根公式。因此，为求解一个非线性方程，我们必须依靠某种数值方法来求其近似解。2 问题的分析对于一个非线性方程，在求其根时，必须考虑两个问题（1）方程是否有根；（2）方程的根的个数，首先我们需要知道非线性方程根的定义：设有一个非
9、线性方程，其中为实变量的非线性函数。（1）如果有使，则称为方程的根，或为的零点。（2）当为多项式，即则称为次代数方程。当包含指数函数或者三角函数等特殊函数时，则称为特殊方程。根的重数的定义（3）如果，其中。为正整数，则称为的重根。当时，称为的单根。其次，根的存在由于零点定理密不可分，零点定理的意义：设在连续，且，则存在，使得，即在内存在零点。2.1 数值算法理论分析2.1.1逐步搜索法对于方程，为简明起见，设，从区间左端点出发按某个预定步长（如取，为正整数），一段一段地向右跨，每跨一步进行一次根的搜索。即检查节点上的函数值的符号，若，则即为方程解；若，则方程根在区间中，其宽度为。例 考察方程的
10、根。解 注意到 则在内至少有一个根，设从出发，以为步长向右进行根的搜索。列表记录各节点函数值的符号, 如表4.2.1所示。可见方程在内必有一根。表2.1的符号00.51.01.5的符号-+易见，此方法应用关键在步长的选择上。很明显，只要步长取得足够小，利用此法就可以得到任意精度的根，但缩小，搜索步数增多，从而使计算量增大，用此方法对高精度要求不简便。2.1.2二分法对非线性方程： (2.1) 其中在上连续且设，不妨设在内仅有一个零点。求方程的实根的二分法的过程，就是将逐步分半，检查函数值符号的变化，以便确定包含根的充分小区间。二分法的步骤如下：记，第1步：分半计算，即将分半。计算中点及。若，则
11、根必在内，否则必在内（若，则），于是得到长度一半的区间含根，即，且。第2步： . . .第步：（分半计算）重复上述过程。设已完成第1步第步，分半计算得到含根区间，且满足，即，则第步的分半计算：，且有： (2.2)确定新的含根区间，即如果，则根必在内，否则必在内，且有：。总之，由上述二分法得到序列，由(2.2)有：。可用二分法求方程的实根的近似值到任意指定的精度，这是因为：设为给定精度要求，则由，可得分半计算次数应满足： (2.3) 二分法的优点是方法简单，且只要求连续即可。可用二分法求出在内的全部实根，但二分法不能求复根及偶数重根，且收敛较慢，函数值计算次数较多。例 用二分法求在内一个实根，且
12、要求精确到小数点后第三位。（即）解 由代入式(2.3)，其中，可确定所需分半次数为，计算结果部分如表2.2所示（显然）。表2.2部分计算结果81.1328131.1406251.1367190.02061991.1328131.1367191.1347660.4268415101.1328131.1347661.133789111.1337891.1347661.1342772.1.3 迭代法 迭代法是一种逐次逼近法。它是求解代数方程、超越方程及方程组的一种基本方法，但存在是否收敛及收敛快慢的问题。 用迭代法求解的近似根，首先需将此方程化为等价的方程： (2.4)然而将化为等价方程的方法是很多
13、的。迭代法步骤：设方程为（1）取方程根的一个初始近似，且按下述逐次代入法，构造一个近似解序列： （2.5）这种方法称为迭代法（或称为单点迭代法），称为迭代函数。（2）若由迭代法产生序列有极限存在，即，称为收敛或迭代过程（2.5）收敛，否则称迭代法不收敛。若连续，且，则即为方程（2.4）的解（称为函数的不动点），显然在由方程转化为等价方程时，选择不同的迭代函数，就会产生不同的序列（即使初值选择一样）且这些序列的收敛情况也不一定相同。如下图所示，解方程f(x)=0可以等价地变换成求解 x=g(x)，图 2.3 方程求根迭代法原理示意图在几何上，就等价求曲线yx和yg(x）交点P*的坐标x*。从图中
14、x0点出发，由函数yg(x0）得出yP0，代入函数yx中得出Q1，再把Q1的x坐标 x1代入方程y=g(x)得出P1，如此继续下去，便可在曲线yg(x)上得到一系列的点P0，P1， ，Pk， ，这些点的x坐标便是迭代数列 xl , x2 ， ， xk， 它趋向于方程的根 x*，数列的元素就是方程根的近似值。数列的收敛就等价于曲线yx和y=(x)能够相交于一点。关于收敛性，从几何上观察知道在（1），（2）情况下收敛于，在(3)，(4)情况不收敛于。图2.4 收敛性与几何意义迭代法的收敛定理 设有方程，（1） 设于一阶导数存在，（2） 当时，有，（3） 满足条件：则有： 在上有唯一解， 对任意选取初始值，迭代过程收敛即， ， 误差估计式：。选取的g(x )必须满足: (1) 两方程同解；(2) 迭代序列收敛于其根。例 对方程求解.解 可用不同的方法将其化为等价方程：（1） （2）化为如下迭代函数：由计算可以看出，我们选取的两个函数，分别构造序列收敛情形不一样（初值都取为1），在中收敛且，在中计算出无定义。部分计算结果如
