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1、第七章 数据处理及应用【教学目的】：本章着重介绍数据的插值、拟合与多元回归分析，并利用Matlab相应工具结合具体案例进行分析。【教学重点难点】：教学重点：插值与拟合，回归分析，聚类与分类。教学难点：定性与定量的结合，如何在定性分析基础上给出适当的定量关系。【课时安排】：8学时【教学方法】：采用多媒体教学手段，配合实例教学法，通过对典型例题的讲解启发学生思维，并给与学生适当的课后思考讨论的时间，加深知识掌握的程度。安排一定课时的上机操作。【教学内容】：7.1数据插值与拟合在工程和科学实验中，当研究对象的机理不清楚的时候，经常需要从一组实验观测数据 (xi , yi ) (i = 1, 2, ,
2、 n)中寻找自变量x与因变量y之间的某种函数关系 y = f(x)。比如测量了人的身高和体重的一些数据，要确定两者的函数关系，但身高与体重的机理我们不清楚，所以寻找尽量吻合这组测量数据的近似函数模型就很重要了。函数 f(x) 的产生办法因观测数据与要求的不同而异，通常可采用数据插值与数据拟合的方法。7.1.1数据插值1.插值问题的描述对给定的一组测量数据，要确定通过所有这些数据点的曲线或曲面的问题就是插值问题。对一维插值问题可以这样描述：设f(x)在区间a, b上连续，x0,x1,xn为 a, b上n+1个互不相同的点，且已知f(x)的一组实验观测数据 (xi , yi ) (i = 1, 2
3、, , n)，要求一个性质优良、便于计算的近似函数j(x)，使得，i =0,1,n (7.1)成立，这就是一维插值问题。其中称a, b为插值区间，点x0,x1,xn为插值节点，函数j(x)为插值函数，f(x)为被插值函数，式(1)为插值条件。求插值函数j(x)的方法称为插值法。关于高维插值可类似定义，本节只介绍一维和二维插值。 2.基本插值方法简介 插值函数的取法很多，可以是代数多项式，也可以是三角多项式或有理函数；可以是a, b上任意光滑函数，也可以是分段光滑函数。对一维插值，最常用最基本的插值方法有：分段多项式插值与三次样条插值；二维插值根据数据分布规律可分为网格节点插值和散乱数据插值，相
4、应的方法有双三次样条插值方法和改进的Shepard方法。具体的方法原理请参阅计算方法的专业书籍，这里不再详细介绍。下面我们着重介绍Matlab中如何实现数据插值。3.插值方法的Matlab实现一维数据插值MATLAB中用函数interp1()来处理一维数据插值，它提供了四种插值方法供选择：线性插值、三次样条插值、三次插值和最临近插值。命令 interp1格式 yi = interp1(x, y, xi, method) %对被插值节点xi, 用method方法进行插值.说明 (1）.输入参数说明：x,y为插值节点，均为向量；xi为任取的被插值点，可以是一个数值，也可以是一个向量；yi为被插值点
5、xi处的插值结果；（2）.其中method是选用的插值方法，具体有： nearest表示最临近插值linear表示线性插值，默认 cubic表示三次插值 spline表示三次样条函数插值注意上述method中所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能超过x的取值范围, 其中最后一种插值的曲线比较平滑； （3）三次样条插值函数的调用格式有两种等价格式： yi = interp1(x, y, xi, spline) yi = spline(x, y, xi)例1：下表给出了12名成年女子的身高与腿长的测量数据：身高143145146149153155156157158159162164腿长888
6、588929396989796987072试研究身高与腿长的关系，并给出身高为148、150、160时腿长的预测值。解：在matlab中输入代码：x=143145146149153155156157158159162164; %插值节点y=888588929396989796987072; x1=143:0.2:164; %被插值节点，用于确定插值函数.plot(x,y,o);hold on %原始测量数据散点图.y1=interp1(x,y,x1,spline); %求被插值节点处的函数值.yp=interp1(x,y,148 150 160,spline) %求身高为148、150、160
7、时腿长.plot(x1,y1,x,y,r:) %画出插值函数图形及测量数据的折线图.xlabel(身高),ylabel(腿长) %加坐标轴标签输出结果为：yp = 91.4561 92.1942 99.4787 %对应身高的腿长输出图形见图7.1：图7.1注意：1).matlab只会给出被插值节点处的函数值，而不会给出具体的函数解析表达式，这有点类似于我们求微分方程的数值解。需要求点对应的插值（未知的），可以将被插值节点放在xi中；2).图7.1中有三条曲线，其中圆圈点是原始测量数据点（横坐标为插值节点），实线是插值函数图形，虚线是插值节点间的连接折线段。二维数据插值针对二维插值中的插值基点为
8、网格节点和散乱节点，MATLAB中分别提供了函数interp2()和griddata()来进行二维插值。先介绍规则区域上给定数据有规律分布的二维插值。命令 interp2格式 zi = interp2(x, y, z, xi, yi, method) %针对网格节点的二维插值.说明 (1）.输入参数说明：x，y，z为插值节点，其中x和y是自变量，x是m维向量，指明数据网格的横坐标，y是n维向量，指明数据网格的纵坐标，z是阶矩阵，表示相应于网格点的函数值；zi 为被插值点 (xi, yi) 处的插值结果；（2）.其中method是选用的插值方法，具体有： nearest表示最临近插值linear
9、表示双线性插值，默认 cubic表示双三次插值 spline表示双三次样条函数插值注意上述method中所有的插值方法都要求x和y是单调的网格，x和y可以是等距的也可以是不等距的。xi和yi应是方向不同的向量，即一个是行向量，另一个是列向量。几种方法中最后一种插值的曲面比较平滑。例2：已知在某山区测得一些地点的高程如下表。其平面区域为，试用不同的插值方法作出该山区的地貌图。 x y120016002000240028003200360040001200113012501280123074090050070016001320145014201400130070090085020001390150
10、01500140090017076095024001500120017013501450120011507728001500120017015501600155013807703200150015501600155016001600160015503600148015001550157143013001200980解：输入程序代码：x=1200:400:4000;y=1200:400:3600;z=1130 12501280 1230740 900500 700132014501420 14001300 700900 850139015001500 1400900 170760 9501500
11、1200170 13501450 12001150 7715001200170 15501600 15501380 770150015501600 15501600 16001600 1550148015001550 1571430 13001200 980;%原始数据的山区地貌图figure(1)meshz(x,y,z)xlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z)title(原始数据地貌图)%为平滑曲面，加密网格x1=1200:50:4000;y1=1200:50:3600;%最临近插值figure(2)zn=interp2(x,y,z,x1,y1,nearest);surfc
12、(x1,y1,zn)xlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z)title(最临近插值地貌图)%双线性插值figure(3)zl=interp2(x,y,z,x1,y1,linear);surfc(x1,y1,zl)xlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z)title(双线性插值地貌图)%双三次插值figure(4)zc=interp2(x,y,z,x1,y1,cubic);surfc(x1,y1,zc)xlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z)title(双三次插值地貌图)%双三次样条函数插值figure(5)zs=interp2(x,y,z,x
13、1,y1,spline);surfc(x1,y1,zs)xlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z)title(双三次样条函数插值地貌图)输出可视化图形分别见图7.2图7.6： 图7.2 图7.3 图7.4 图7.5图7.6从图形可以看出，原始数据地貌图是很粗糙的，因为测量点比较少。几种插值方法中最临近插值和双线性插值效果较差，而最后一种插值的曲面比较平滑，效果较好。如果给定的数据是在规则区域上的散乱数据或随机分布的数据，即数据不是在网格上取的，则可用函数griddata()来解决二维插值问题。命令 griddata格式 zi =griddata(x, y, z, xi, yi, method) %针对散乱数据的二维插值.说明 （1）.输入参数说明：x，y，z都是n维向量，分别指明所给插值节点的横坐标、纵坐标和z坐标；zi 为被插值点 (xi, yi) 处的插值结果；xi和yi应是方向不同的向量，即一个是行向量，另一个是列向量；（2）.其中method是选用的插值方法，具体有：
