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1、项目二 一元函数积分学与空间图形的画法实验1 一元函数积分(基础实验) 实验目的 掌握用Mathematica计算不定积分与定积分的方法. 通过作图和观察, 深入理解定积分的概念和思想方法. 初步了解定积分的近似计算方法. 理解变上限积分的概念. 提高应用定积分解决各种问题的能力. 基本命令1.计算不定积分与定积分的命令Integrate求不定积分时, 其基本格式为Integratefx,x如输入 Integratex2+a,x则输出 其中a是常数. 注意积分常数C被省略.求定积分时, 其基本格式为Integratefx,x,a,b其中a是积分下限, b是积分上限. 如输入 Integrate
2、Sinx,x,0,Pi/2则输出 1注:Mathematica有很多的命令可以用相应的运算符号来代替. 例如,命令Integrate可用积分号代替, 命令Sum可以用连加号代替, 命令Product可用连乘号代替. 因此只要调出这些运算符号, 就可以代替通过键盘输入命令. 调用这些命令,只要打开左上角的File菜单,点击Palettes中的BasicCalculations, 再点击Calculus就可以得到不定积分号、定积分号、求和号、求偏导数号等等. 为了行文方便, 下面仍然使用键盘输入命令, 但读者也可以尝试用这些数学符号直接计算.2.数值积分命令NIntegrate用于求定积分的近似值
3、. 其基本格式为NIntegratefx,x,a,b如输入 NIntegrateSinx2,x,0,1则输出 0.3102683.循环语句For循环语句的基本形式是For循环变量的起始值, 测试条件, 增量, 运算对象运行此命令时, 将多次对后面的对象进行运算, 直到循环变量不满足测试条件时为止. 这里必须用三个逗号分开这四个部分. 如果运算对象由多个命令组成, 命令之间用分号隔开.例如, 输入t=0;Forj=1,jNone, n, s1, s2则输出n s1 s22 0.125 0.6254 0.218750.468758 0.2734380.39843816 0.3027340.3652
4、3432 0.3178710.34912164 0.3255620.341187128 0.3294370.33725256 0.3313830.335289512 0.3323570.3343111024 0.3328450.333822这是的一系列近似值. 且有不定积分计算例1.2 求输入Integratex2*(1-x3)5,x则输出例1.3 求输入Integratex2*ArcTanx,x则输出定积分计算例1.4 求输入IntegrateAbsx-2,x,0,4则输出4例1.5 求输入IntegrateSqrt4-x2,x,1,2则输出例1.6 求输入IntegrateExp-x2,x
5、,0,1则输出其中Erf是误差函数, 它不是初等函数. 改为求数值积分, 输入NIntegrateExp-x2,x,0,1则有结果0.746824.变上限积分例1.7 求输入DIntegratewx,x,0,Cosx2,x则输出-2 Cosx SinxwCosx2注意这里使用了复合函数求导公式.例1.8 画出变上限函数及其导函数的图形.输入命令f1x_:=Integratet*Sint2,t,0,x;f2x_:=EvaluateDf1x,x;g1=Plotf1x,x,0,3,PlotStyle-RGBColor1,0,0;g2=Plotf2x,x,0,3,PlotStyle-RGBColor0
6、,0,1;Showg1,g2;则输出所求图形.定积分应用例1.9 设和计算区间上两曲线所围成的平面的面积.输入命令Clearf,g;fx_=Exp-(x-2)2 CosPi x;gx_=4 Cosx-2;Plotfx,gx,x,0,4,PlotStyle-RGBColor1,0,0,RGBColor0,0,1;FindRootfx=gx,x,1.06FindRootfx=gx,x,2.93NIntegrategx-fx,x,1.06258,2.93742则输出两函数的图形及所求面积例1.10 计算与两点间曲线的弧长.输入命令Clearf;fx_=Sinx+x*Sinx;Plotfx,x,0,2
7、Pi,PlotStyle-RGBColor1,0,0;NIntegrateSqrt1+fx2,x,0,2Pi则输出曲线的图形及所求曲线的弧长12.0564.注: 曲线在区间上的弧长.例1.11 求曲线与x轴所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转所成的旋转体体积. 输入Clearg;gx_=x*Sinx2;Plotgx,x,0,Pi则输出图1-1.图1-1观察的图形. 再输入IntegratePi*gx2,x,0,Pi得到输出 又输入 Integrate2 Pi*x*gx,x,0,Pi得到输出 若输入 NIntegrate2 Pi*x*gx,x,0,Pi则得到体积的近似值为27.5349.注:图1-1
8、绕y轴旋转一周所生成的旋转体的体积此外,我们还可用ParametricPlot3D命令(详见本项目实验2的基本命令)作出这两个旋转体的图形.输入Clearx,y,z,r,t;xr_,t_=r;yr_,t_=gr*Cost;zr_,t_=gr*Sint;ParametricPlot3Dxr,t,yr,t,zr,t,r,0,Pi,t,-Pi,Pi则得到绕x轴旋转所得旋转体的图形.又输入Clearx,y,z;xr_,t_=r*Cost;yr_,t_=r*Sint;zr_,t_=gr;ParametricPlot3Dxr,t,yr,t,zr,t,r,0,Pi,t,-Pi,Pi则得到绕y轴旋转所得旋转体
9、的图形.实验习题1. 求下列不定积分:(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) .2. 求下列定积分:(1) ; (2) ;(3) (a 0); (4) ;(5) ; (6) .3. 求的近似值.4. 设作出的图形, 并求5. 画出变上限函数及函数的图形.6.设求x轴, 所围曲边梯形绕x轴旋转所成旋转体的体积V, 并作出该旋转体的图形.实验2 空间图形的画法(基础实验)实验目的 掌握用Mathematica绘制空间曲面和曲线的方法. 熟悉常用空间曲线和空间曲面的图形特征,通过作图和观察, 提高空间想像能力. 深入理解二次曲面方程及其图形.基本命令1.空间直角坐标系中作三维
10、图形的命令Plot3D命令Plot3D主要用于绘制二元函数的图形. 该命令的基本格式为Plot3Dfx,y,x,x1,x2,y,y1,y2,选项其中fx,y是的二元函数, x1,x2表示x的作图范围, y1,y2表示y的作图范围. 例如,输入Plot3Dx2+y2,x,-2,2,y,-2,2则输出函数在区域上的图形. 与Plot命令类似, Plot3D有许多选项. 其中常用的如PlotPoints和ViewPoint. PlotPoints的用法与以前相同. 由于其默认值为PlotPoints-15, 常常需要增加一些点以使曲面更加精致, 可能要用更多的时间才能完成作图. 选项ViewPoin
11、t用于选择图形的视点(视角), 其默认值为ViewPoint-1.3,-2.4,2.0,需要时可以改变视点.2.利用参数方程作空间曲面或曲线的命令ParametricPlot3D用于作曲面时, 该命令的基本格式为ParametricPlot3Dxu,v,yu,v,zu,v,u,u1,u2,v,v1,v2,选项其中xu,v,yu,v,zu,v是曲面的参数方程表示式. u1,u2是作图时参数u的范围, v1,v2是参数v的范围.例如，对前面的旋转抛物面, 输入ParametricPlot3Du*Cosv,u*Sinv,u2,u,0,3,v,0,2 Pi同样得到曲面的图形.由于自变量的取值范围不同, 图形也不同. 不过, 后者比较好的反映了旋转曲面的特点, 因而是常用的方法.又如, 以原点为中心, 2为半径的球面. 它是多值函数, 不能用命令Plot3D作图. 但是, 它的参数方程为因此,只要输入ParametricPlot3D2 Sinu*Cosv,2 Sinu*Sinv,2 Cosu,u,0,Pi,v,0,2 Pi便作出了方程为的球面.用于作空间曲线时,ParametricPlot3D的基本格式为ParametricPlot3Dxt,yt,zt,t,t1,t2,选项其中
