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1、2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题8.1 空间几何体的结构及其表面积、体积目录一、考点全归纳1空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台(2)旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形矩形一边所在的直线或对边中点连线所在直线圆锥直角三角形或等腰三角形一直角边所在的直线或等腰三角形底边上的高所在直线圆台直角梯形或等腰梯形直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点连线所在直线
2、球半圆或圆直径所在的直线2.三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线(2)三视图的画法基本要求：长对正，高平齐，宽相等画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线3直观图(1)画法：常用斜二测画法(2)规则：原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴，y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴和y轴所在的平面垂直；原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半4圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱
3、圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(rr)l5.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体 表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VS底h锥 体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VS底h台 体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3常用结论1常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形2斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”“三不变”3正方体的外接球、内切球及与各条棱相切球
4、的半径(1)外接球：球心是正方体的中心；半径ra(a为正方体的棱长)(2)内切球：球心是正方体的中心；半径r(a为正方体的棱长)(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径ra(a为正方体的棱长).4.正四面体的外接球、内切球的球心和半径(1)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)(2)外接球：球心是正四面体的中心；半径ra(a为正四面体的棱长)(3)内切球：球心是正四面体的中心；半径ra(a为正四面体的棱长)二 题型全归纳题型一 空间几何体的几何特征【题型要点】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，
5、要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系(3)棱(圆)台是由棱(圆)锥截得的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略【例1】(2020辽宁省鞍山一中高三上学期期末)给出下列命题：(1)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；(2)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；(3)在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；(4)存在每个面都是直角三角形的四面体；(5)棱台的侧棱延长后交于一点其中正确命题的个数为()A2
6、B3C4D5【例2】给出下列几个命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3题型二 空间几何体的三视图【题型要点】三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，看不到的部分用虚线表示(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图先根据已知的一部分视图，还原、推测其直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看
7、给出的部分三视图是否符合(3)由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为直观图 类型一 已知几何体，识别三视图【例1】(2020宜宾模拟)已知棱长都为2的正三棱柱ABCA1B1C1的直观图如图若正三棱柱ABCA1B1C1绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为()【例2】(2020湖南衡阳二模)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，B在平面上，AB.若平面A1B1C1D1与平面所成角为30，由如图所示的俯视方向，正方体ABCDA1B1C1D1在平面上的俯视图的面积为()A2 B1 C2 D2类型二已知三视图，判
8、断几何体【例3】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A三棱锥 B三棱柱 C四棱锥 D四棱柱【例4】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A1 B2 C3 D4类型三已知几何体的某些视图，判断其他视图【例5】(2020福州模拟)如图为一圆柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧视图可以是()【例6】(2020河北衡水中学联考)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈、长4丈，上棱长2
9、丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知该楔体的正视图和俯视图如图中粗实线所示，则该楔体的侧视图的周长为()A3丈 B6丈C8丈 D(5)丈题型三 空间几何体的直观图【题型要点】(1)斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”“三不变”(2)平面图形直观图与原图形面积间的关系对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S与直观图面积S之间的关系SS，能更快捷地进行相关问题的计算【例1】已知等边三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为()A.a2 Ba2 C.a2 Da2【例2】在等腰梯形ABCD中，上底CD1，腰ADCB，下底AB3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测
10、画法画出的直观图ABCD的面积为_题型四 空间几何体的表面积【题型要点】几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系【例1】(2020河南周口模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBC，AA1AC2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30，则该三棱柱的侧面积为()A44 B44C12 D84【例2】(2020四川泸州一诊)在梯形ABCD中
11、，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为()A(5) B(4)C(52) D(3)题型五 空间几何体的体积【题型要点】处理体积问题的思路“转”：指的是转换底面与高，将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面，或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高；“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体，便于计算； “拼”：指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原成一个四棱柱，这些都是拼补的方法(2)求空间几何体的体积的常用方法公式法：对于规则几何体的体积问题，可以直接
12、利用公式进行求解；割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积；等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积类型一直接利用公式求体积【例1】(2020山东省实验中学模拟)我国古代九章算术里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈问积几何？其意思是：今有上下底面皆为
13、长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为()A13.25立方丈 B26.5立方丈C53立方丈 D106立方丈类型二割补法求体积【例2】九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1)，那么该刍甍的体积为()A4 B5 C6 D12类型三等体积法求体积【例3】(2020贵州部分重点中学联考)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点E是棱BB1的中点，点F是棱CC1上靠近C1的三等分点，且三棱锥A1AEF的体积为2，则四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为()A12 B8 C20 D18题型六 球与空间几何体的接、切问题【题型要点】与球有关的切、接问题的解法(1)旋转体的外接球：常用的解题方法是过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)多面体的外接球：常用的解题方法是
