《定积分的换元积分法与分部积分法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《定积分的换元积分法与分部积分法（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、定积分的换兀积分法与分部积分法教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法难点：定积分换元条件的掌握重点：换元积分法与分部积分法由牛顿-莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数.在 上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因 此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的.1 .定积分换元法定理假设(1) 函数f(x)在区间a,b上连续；(2) 函数x =(t)在区间:，订上有连续且不变号的导数；(3) 当t在，订变化时，(t)的值在a,b上变化，且：C)=a, C)=b，则有：f(x)dxt (t)(t)dt.(1)本定理证明从略.在应用时必须
2、注意变换X =(t)应满足定理的条件，在改 变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分.例1计算f比dx .1 x解 令.x -1 二t，则 x=1 t2,dx =2tdt .当 X =1 时，t = 0 ；当 X = 2 时, t =1 .于是2 厶 _11 t1 1f2tdt =2 1dt1 x01+t2 1+t2 丿1(兀)= 2(tarctta=21 |.4丿例 2 计算 0a2 - x2dx (a a0).解 令 x =asi nt，贝U dx =acosd .当 x=0 时，t = 0 ；当 x = a 时，t =.故2o a2 _x2dx 二2 a cost a costd
3、tji2 (1 cos2t)dt2 IL 2si f2ty八O图5- 8显然,这个定积分的值就是圆 x2 y2 = a2在第一象限那部分的面积（图5-8).计算:cos5 x sin xdx .解法一 令t 二 cosx，贝U dt 二-sin xdx .当0时，； 当-时，-0，于是jcosxsin xdx 0 5 1 6t5dt =t66解法二 也可以不明显地写出新变量t，这样定积分的上、下限也不要改 变.JI2ncosxsirxdx-2cogxdcoscJ01 6一一 cos x611-1=66 此例看出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元 不需要变换上、下限.计算
4、1 - sinxdx.兀j 兀 Xx解G-sinxdx 珥 sirpco2dx 注去绝对值时注意符号.=:(cos- -sinx)dx -. (sin - cos)dx22222xX、= 2(sincos )22=4( 2 -1).例5计算f岛xdx.解设t = cosx，则当 X = 0 时，t =1 ;当 x=时，t - -1 .,nsi nx)3 sin2 xdx=一1dt 二14-t21 _1_4 t-J-dt2n1例6设f (x)在-a, a上连续，证明:a(1) 若f (x)为奇函数，贝Uf(x)dx = 0 ;.aaa(2) 若 f (x)为偶函数，贝 U Lf(x)dx=2 f
5、 (x)dx.证由于a0a* f (x)dx =f(x)dx 0 f(x)dx,对上式右端第一个积分作变换x - -t，有00aa* f (x)dx =-a f (-t)dt = f(-t)dt = 0 f(-x)dx. 故aaf(x)dx 二f(-x) f (x)dx.-a0(1) 当f (x)为奇函数时，f (-x) - - f(x)，故aa乜 f (x)dx Odx 二 0 .(2) 当f (x)为偶函数时，f(-x) = f(x)，故af (x)dx =-aFita2 f (x)dx=2 f (x)dx .利用例6的结论能很方便地求出一些定积分的值.兀 6x sin xdx = 0 .
6、-31例如(x 4 -x2)2dx =(4 2x 4 - x2 )dx = 4dx 0 = 8 .2 .定积分的分部积分法设函数u(x)与v(x)均在区间a,b上有连续的导数，由微分法则d (uv) = udv vdu，可得udv 二 d (uv) -vdu .等式两边同时在区间a,b上积分，有bba心=(叽 a公式(2)称为定积分的分部积分公式，其中 e例7计算彳In xdx .vdua与b是自变量x的下限与上限.解令 u = In x, dv =dx，则 du 二空，v = x xeIn xdx =xIn xedxx -1x(e_0) _(e_1)=1 .3TJI 310 - .0 sir
7、3xd计算 0 x cos3xdx.” 1 x cos 3xdx =_ 331 -xd sin 3x = |xs i r3x340 icos3x0：=0 1 cos2xdx .4dx =0 1 c o isxTL x1 TL04孟;/冷曲xx10计算n4 see3 xdx .ji4 se e xdx =11计算 o1 edx .1=一(xtan x2兀4 sea- 1-tan xdx)+ In cosx：)s e C xdx =se ext a nxo4(se兀4 s e cxd t a nx4 t anx seoc t a nxd xex - 1)se(x d xs eCx d xn4se(
8、x d xjin4 s e e x d x I n (s xe t a nx) 04ji04seCxdx ln(2 1).4seCxdxi2 -In (21)注移项得.JT214se Cx d x In(21).) 2 2先用换元法,令、x =t，贝U x = t2,dx =2tdt .t =0 ；当x =1时，t =1 . 于是1 x1 te dx = 2 te dt .再用分部积分法，得10 1 1 1e、xdx=2j tdd =2(td - J edt)= 2e -(e-1) =2 .小结：1 .定积分换元积分定理：假设(1)函数f(x)在区间a,b上连续;(2) 函数 (t)在区间 , 上有连续且不变号的导数；(3) 当t在,:变化时，x = (t)的值在a,b上变化，且(：)= a, ( ) = b . 则有ff(x)dx= ff &P(t) A(t)dt.a :-2.定积分分部积分法：设函数u(x)与v(x)均在区间a,b上有连续的导数， 则有bb ba udv = (uv)|a .a Vdu.
