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1、122、求下列情况下，真空中带电面之间的电压。(2)、无限长同轴圆柱面，半径分别为和（），每单位长度上电荷：内柱为而外柱为。解：同轴圆柱面的横截面如图所示，做一长为半径为（）且与同轴圆柱面共轴的圆柱体。对此圆柱体的外表面应用高斯通量定理，得 考虑到此问题中的电通量均为即半径方向，所以电通量对圆柱体前后两个端面的积分为0，并且在圆柱侧面上电通量的大小相等，于是 即 ， 由此可得 123、高压同轴线的最佳尺寸设计高压同轴圆柱电缆，外导体的内半径为，内外导体间电介质的击穿场强为。内导体的半径为，其值可以自由选定但有一最佳值。由于太大，内外导体的间隙就变得很小，以至在给定的电压下，最大的会超过介质的击
2、穿场强。另一方面，由于的最大值总是在内导体的表面上，当很小时，其表面的必然很大。试问为什么值时，该电缆能承受最大电压？并求此最大电压。（击穿场强：当电场增大达成某一数值时，使得电介质中的束缚电荷可以脱离它的分子 而自由移动，这时电介质就丧失了它的绝缘性能，称为击穿。某种材料能安全地承受的最大电场强度就称为该材料的击穿强度）。解：同轴电缆的横截面如图，设同轴电缆内导体每单位长度所带电荷的电量为，则内外导体之间及内导表面上的电场强度分别为 ， 而内外导体之间的电压为或 即 ， 133、两种介质分界面为平面，已知，且分界面一侧的电场强度，其方向与分界面的法线成的角，求分界面另一侧的电场强度的值。解：
3、， 根据 ，得， 于是： 142、两平行导体平板，相距为，板的尺寸远大于，一板的电位为0，另一板的电位为，两板间充满电荷，电荷体密度与距离成正比，即。试求两极板之间的电位分布（注：处板的电位为0）。解：电位满足的微分方程为 其通解为： 定解条件为：； 由得 由得 ，即 于是 143、写出下列静电场的边值问题：（1）、电荷体密度为和（注：和为常数），半径分别为与的双层同心带电球体（如题143图（a）； （2）、在两同心导体球壳间，左半部分和右半部分分别填充介电常数为与的均匀介质，内球壳带总电量为，外球壳接地（题143图b）；（3）、半径分别为与的两无限长空心同轴圆柱面导体，内圆柱表面上单位长度的
4、电量为，外圆柱面导体接地（题143图（c）。 由于对称并假定同轴圆柱面很长，因此介质中的电位和及无关，即只是的函数，所以 电位参考点： ； 边界条件：，即 173、在无限大接地导体平板两侧各有一个点电荷和，与导体平板的距离均为，求空间的电位分布。解：设接地平板及和如图（a）所示。选一直角坐标系，使得轴通过和且正轴方向由指向，而，轴的方向与轴的方向符合右手螺旋关系且导体平板的表面在，平面内。计算处的电场时，在（）处放一镜像电荷，如图（b）所示，用其等效在导体平板上的感应电荷，因此计算处的电场时，在（）处放一镜像电荷如图（c）所示，用其等效在导体平板上的感应电荷，因此175、空气中平行地放置两根长
5、直导线，半径都是2厘米，轴线间距离为12厘米。若导线间加1000V电压，求两圆柱体表面上相距最近的点和最远的点的电荷面密度。解：由于两根导线为长直平行导线，因此当研究它们附近中部的电场时可将它们当作两根无限长且平行的直导线。在此假定下，可采用电轴法求解此题，电轴的位置及坐标如图所示。由于对称 而 设负电轴到点的距离矢量为，正电轴到点的距离矢量为（点应在认为半径的两个圆之外），则点的电位为 两根导体之间的电压为，因此右边的圆的电位为，即 由此可得 于是 由于两根导线带的异号电荷互相吸引，因而在两根导线内侧最靠近处电场最强电荷密度最大，而在两导线外侧相距最远处电荷密度最小。 18、对于空气中下列各
6、种电位函数分布，分别求电场强度和电荷体密度：（1）、（2）、（3）、（4）、解：求解该题目时注意梯度、散度在不同坐标中的表达式不同。（1）、（2）、 （3）、 （4）、 解：（1）、设内球中的电位函数为，介质的介电常数为，两球表面之间的电位函数为，介质的介电常数为，则，所满足的微分方程分别为 ， 选球坐标系，则由于电荷对称，所以和均与、无关，即和只是的函数，所以 ， 定解条件为： 分界面条件： ； 电位参考点： ； 附加条件：为有限值（2）、设介电常数为的介质中的电位函数为，介电常数为的介质中的电位函数为，则、所满足的微分方程分别为 ， 选球坐标系，则由于外球壳为一个等电位面，内球壳也为一个等
7、电位面，所以和均与、无关，即和只是的函数，所以 ， 分界面条件： 由分解面条件可知 。令 ，则在两导体球壳之间电位满足的微分方程为 电位参考点： ； 边界条件：，即 （3）、设内外导体之间介质的介电常数为，介质中的电位函数为，则所满足的微分方程分别为 ， 选球柱坐标系，则 194、一个由两只同心导电球壳构成的电容器，内球半径为，外球壳半径为，外球壳很薄，其厚度可略去不计，两球壳上所带电荷分别是和，均匀分布在球面上。求这个同心球形电容器静电能量。解：以球形电容器的心为心做一个半径为的球面，并使其介于两导体球壳之间。则此球面上任意一点的电位移矢量为 电场强度为 而电场能量密度为 球形电容器中储存的
8、静电场能量为=195、板间距离为电压为的两平行板电极浸于介电常数为的液态介质中，如图所示。已知液体介质的密度是，问两极板间的液体将升高多少？解：两平行板电极构成一平板电容器，取如图所示的坐标，设平板电容器在垂直于纸面方向的深度为，则此电容器的电容为 电容中储存的电场能量为 液体表面所受的力为 此力应和电容器中高出电容器之外液面的液体所受的重力平衡，由此可得 即 25、内外导体的半径分别为和的圆柱形电容器，中间的非抱负介质的电导率为。若在内外导体间加电压为，求非抱负介质中各点的电位和电场强度。 解：设圆柱形电容器介质中的电位为，则 选择圆柱坐标，使轴和电容器的轴线重合，则有 假定电容器在方向上很
9、长，并考虑到轴对称性，电位函数只能是的函数，因此所满足的微分方程可以简化为 即 ， 两边再积分得电位的通解 定解条件：， 将电位函数的通解带入定解条件，得由上述两式解得 ， 于是 而 27、一导电弧片由两块不同电导率的薄片构成，如图所示。若西门子/米，西门子/米，厘米，厘米，钢片厚度为2毫米，电极间的电压，且。求： 、弧片内的电位分布（设轴上电极的电位为0）； 、总电流和弧片的电阻；、在分界面上，是否突变？、分界面上的电荷密度。 解：（1）、设电导率为的媒质中的电位为，电导率为的媒质中的电位为，选取柱坐标研究此问题。由于在柱坐标中电极上的电位和及无关，因而两部分弧片中的电位也只是的函数，即由上
10、边两式可得、的通解分别为 此问题的定解条件是： （a） （b）（c） （d）根据上述四式可得， ， 联立以上四式解得， ， 于是 （2）、根据 得 又，因此 而 （3）、由于电流密度的法向分量在分界面上连续，且在此题目中电流密度只有法向分量，因此 。分界面处的电场强度等于分界面处的电流密度与电导率的比值，又，因此 。对于导电媒质中的电流场，媒质的介电常数一律为，因此。（4）、 211、以橡胶作为绝缘的电缆的漏电阻通过下属办法测定：把长度为的电缆浸入盐水溶液中，然后在电缆导体和溶液之间加电压，从而可测得电流。有一段米长的电缆，浸入后加的电压，测得电流为。已知绝缘层的厚度和中心导体的半径相等，求绝
11、缘层的电阻率。解： 设导体的电位高于盐水的电位，则绝缘层中的漏电流密度为：而绝缘层中的电场强度为： 设导体的半径为，电缆绝缘层的外半径为，则导体和盐水之间的电压为：即 将已知数据代入上式，得 321、一半径为长圆柱形导体，被一同样长度的同轴圆筒导体所包围，圆筒半径为，圆柱导体和圆筒导体载有相反方向电流。求圆筒内外的磁感应强度（导体和圆筒内外导磁媒质的磁导率均为）。解：求解此问题可将圆柱导体和圆筒导体视为无限长。在垂直于的平面上以轴和此平面的交点为心做一半径为的圆，设的方向和符合右手螺旋关系。由安培环路定律得：式中为中包含的电流，其方向与符合右手螺旋关系时为正，否则为负。考虑到在上的大小相等，方向为的切线方向，则有 即 ， 而 ， 当时，有 而 当时，有 而 当时，有 因而 333、在恒定磁场中，若两种不同媒质分解面为平面，其上有电流线密度，已知，求。解：设的区域中的磁导率、磁场强度、磁感应强度分别为、；的区域中的磁导率、磁场强度、磁感应强度分别为、。由已知条件得：； ； 由分解面条件得：； ；将已知条件代入，得：； ； 而 于是 343、已知电流分布为为常数，求矢量位和磁感应强度（注的参考点选为处）。 解：设的区域中的矢量磁位为，的区域的矢量磁位为，则、所满足的微分方程分别为： 考虑到电流密度只有分量，矢量磁位也只能有分量，上两可改写为 选圆柱坐标系，上两式变为
