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1、苏教版高中数学必修1讲义 第一讲1.2 子集、全集、补集要点一 子集、真子集重点在上一节中，我们用约定的字母标记了一些特殊的集合，在这些特殊的集合中，我们会发现这样一个现象：正整数集中的所有元素都在自然数集中；自然数集中的所有元素都在整数集中；整数集中的所有元素都在有理数集中；有利数集中的所有元素都在实数集中.其实，上述各集合之间是一种集合见得包含关系；可以用子集的概念来表示这种关系.1子集(1)定义：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若aA则aB)，那么集合A成为集合B的子集，记作AB或BA，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含于集合A” .(2)举例：例如，4，5Z，4，5Q，
2、ZQ，QR.AB可以用图1-2-1来表示.(3)理解子集的定义要注意以下四点：“A是B的子集”的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，既由xA，能推出xB，例如-1，1-1，0，1，2.任何一个集合是它本身的子集，即对于任何一个集合A，它的任何一个元素都是属于集合A本身，记作AA.我们规定，空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A，有A.在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A=，则A中不含任何元素；若A=B，则A中含有B中的所有元素，但此时都说集合A是集合B的子集.以上点告诉我们，在邱某一个集合时，不要漏掉空集和它的本身两种特殊情况.(4)例题：
3、例1 设集合A=1，3，a ，B=1，a 2-a +1，且AB，求a的值.解：AB，a 2-a +1=3或a 2-a +1=a，由a 2-a +1=3，得a =2或a =-1；由a 2-a +1=a，得a =1.经检验，当a =1时，集合A、B中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a的值为-1，2.2真子集(1)定义：如果AB，并且AB，那么集合A称为集合B的真子集，记作AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”.(2)举例：1，21，2，3.(3)理解子集的定义要注意以下四点：空集是任何非空集合的真子集.对于集合A、B、C，如果AB，BC，那么AC.若AB，则.元素与集合
4、的关系是属于于不属于的关系，分别用符号“”和“”表示；集合与集合之间的关系是包含于、不包含于、真包含于、相等的关系，分别用符号“”“”“”和“=”.(4)例题：例2 写出集合a,b,c的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空真子集.解：a,b,c的所有子集是：，a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b，c.其中除了a，b，c外，其余7个集合都是它的真子集.除了，a，b，c外，其余6个都是它的非空真子集.练习：1判断下列命题的正误：(1)2，4，62，3，4，5，6； (2)菱形矩形；(3)x|x2+1=00； (4)(0，1)0，1.解题提示： 根据子集的定义，判断所给的两集合中前一个
5、集合的任何一个元素是否都是后一个集合的元素.解：根据子集的定义，(1)显然正确；(2)中只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他的菱形不是矩形；(3)中集合 x | x 2+1= 0 是，而是任何集合的子集；(4)中(0，1)是点集，而0，1是数集，元素不同，因此正确的是(1)(3)，错误的是(2)(4).评点判断两集合之间的子集关系时，主要是看其中一个集合的元素是不是都在另一个集合中.2写出集合A=p，q，r，s的所有子集.解题提示： 根据集合A的子集中所含有元素的个数进行分类，分别写出，不要漏掉.解：集合A的子集分为5类，即(1)；(2)含有一个元素的子集：p，q，r，s；(3)含有两个元素的
6、子集：p，q，q，r，r，s，s，p，p，r，q，s；(4)含有三个元素的子集有：p，q，r，p，q，s，q，r，s，p，r，s；(5)含有四个元素的子集有：p，q，r，s评点综上所述：集合A的子集有，p，q，r，s，p，q，q，r，r，s，s，p，p，r，q，s，p，q，r，p，q，s，q，r，s，p，r，s，p，q，r，s，共16个给定一个含有具体元素的集合，写其子集时，应根据子集所含元素的个数进行分类.以下结论可以帮助检验所写子集数的正确性：若一个集合含有m个元素，则其子集有2m个，真子集有(2m -1)个，非空真子集有(2m -2)个.3给出下列命题：空集没有子集；任何集合至少有两个子
7、集；空集是任何集合的真子集；若A，则A其中正确的序号有_解题提示： 从子集、真子集的概念以及空集的特点入手，逐一进行判断.解析：错误，空集是任何集合的子集，；错误，如空集的子集只有1个；错误，不是的真子集；正确，是任何非空集合的真子集.评点求解与子集、真子集概念有关的题目时，应记住以下结论：(1)空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A，有A.(2)任何一个集合是它本身的子集，即对任何一个集合A，有AA.4满足集合1，2，3M1，2，3，4，5的集合M的个数是 _2_ 解题提示： 根据所给关系式，利用1，2，3是M的真子集，且M真包含于1，2，3，4，5的关系判断集合M中的元素个数.评点解析
8、：依题意，集合M中除含有1，2，3外至少含有4，5中的一个元素，又M1，2，3，4，5，M=1，2，3，4或1，2，3，5(1)解答此题应首先根据子集与真子集的概念判断出集合M中含有元素的可能情况，然后根据集合M中含有元素的多少进行分类讨论，防止遗漏.(2)若 a 1，a 2，am A a 1，a 2，am ，am+1，an ，则A的个数为2nm.若 a 1，a 2，am Aa 1，a 2，am ，am+1，an ，则A的个数为2nm -1.若 a 1，a 2，am Aa 1，a 2，am ，am+1，an ，则A的个数为2nm -2.要点二 补集、全集重点1补集设AS，由S中不属于A的所有元
9、素组成的集合称为S的子集A的补集，记作S A(读作“A在S中的补集”)，即S A= x | xS，且xA.C S A可用图1-2-2中的阴影部分来表示.2全集.(1)定义：如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.(2)举例：例如，在实数范围内讨论集合时，R便可看做一个全集U，在自然数范围内讨论集合时，N便可看做一个全集U.3理解补集、全集要注意以下两点：(1)对全集概念的理解：全集是相对于所研究的问题而言的一个相对概念，它含有与所研究的问题有关的各个集合的全部元素，因此，全集因研究问题而异.例如在研究数集时，常常把实数集R看做全集；在立体几何中，三维空间是
10、全集，这是平面是全集的一个子集；而在平面几何中，整个平面可以看做一个全集.(2)求子集A在全集U中的补集的方法：从全集U中去掉所有属于A的元素，剩下的元素组成的集合即为A在U中的补集.如已知U= a，b，c，d，e，f ，A= b，f ，求C U A.该题中显然AU，从U中除去子集A的元素b、f ，乘下的a、c、d、e组成的集合即为UA=a，c，d，e .另外，原题若是无限集，在实数范围内求补集，我们则可以充分利用数轴的直观性来求解.如已知U=R，A=x | x 3 ，求UA.用数轴表示如图1-2-3，可知UA=x | x 3 .4例题例2 不等式组的解集为A，U=R.试求A及CUA，并把它们
11、分别表示在数轴上.解：A=x | 2 x -1 0且3 x6 0 =，在数轴上表示如图1-2-4(1).CUA=，在数轴上表示如图1-2-4(2).练习5已知全集U=R，集合A= x |1 x 6，求CUA.解题提示： 在数轴上标出集合A，结合补集的定义求解.评点解：根据补集的定义，在实数集R中，由所有不属于A的实数组成的集合，就是CUA，如图1-2-5，结合数轴可知，CUA= x |1 x 6.涉足与数集有关的补集，求解时一般要利用数轴只管求解，求解时要注意端点值的取舍.6已知全集U=不大于5的自然数，A=0，1，B=x|xA，且x1，C=x|x-1A，且xU.(1)判断A、B的关系；(2)
12、求CUB、CUC，并判断其关系.解题提示： 根据题意，先写出全集U，按所给集合B、C的含义，写出B、C，并求其补集后求解第(2)题.解：由题意知U=0，1，2，3，4，5，B=0，又集合C中的元素必须满足以下两个条件：xU，x-1A.若x=0，此时0-1=-1A，0是C中的元素；若x=1，此时1-1=0A，1不是C中的元素；若x=2，此时2-1=1A，2不是C中的元素；同理可知3，4，5是集合C中的元素，C=0，3，4，5.(1)A=0，1，B=0，BA；(2)CUB=1，2，3，4，5，CUC=1，2，CUC CUB.评点若给定具体的数的集合，判断其两个子集的补集之间的关系时，应先求集合的补
13、集.7设全集U=1，2，x2-2，A=1，x，求CUA.解题提示： 要求CUA，必须先确定集合A，实际上就是确定x的值，从而需要分类讨论.解：由条件知AU，xU=1，2，x2-2，又x1，x=2或x= x2-2.若x=2，则x2-2=2，此时U=1，2，2，这是与互异性矛盾，舍去.由x=x2-2得x2-x-2=0，解得x=-1或x=2(舍去).评点此时U=-1，1，2，A=1，-1，CUA=2.求解此题首先确定参数x的值，然后确定出U和A的具体结果.在求解集合问题时必须密切关注集合元素的特征，并且特别注意互异性，以免产生增根.8已知A=x|x5，B=x|xa，分别求满足下列条件的a的取值范围：
14、(1)BA；(2)AB.解题提示： 紧扣子集、全集、补集的定义，利用数轴，数形结合求出a范围.解：(1)因为BA，B是A的子集，如图1-2-6(1)，故a5.(2)因为AB，B是A的子集，如图1-2-6(2)，故a59已知M=x|x = a2+1，a N *，P= y | y =b2- 6b+10，bN，判断集合M与P之间的关系.解法一：集合P中，y=b2-6b+10=(b-3)2+1当b=4，5，6，时，与集合M中a=1，2，3，时的值相同，而当b=3时，y=1P，1M，MP.解法二：对任意的x0M，有x0=a 2 0+1=(a0+3)2-6(a0+3)+10P(a0N *，a0+3N)，MP，又b=3时，y
