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1、Toeplitz矩阵及逆矩阵求解目录5.1 Toeplitz矩阵定义与性质25.2 YuleWalker方程组35.3 一般右端项的Toeplitz方程组.4算法I:求解一般右端项的Toeplitz方程组。.5数值算例.55.3 Toeplitz矩阵的逆5算法II Toeplitz矩阵的逆。6数值算例.65。4 心得体会.75.5 程序.8Toeplitz方程组的解法5.1 Toeplitz矩阵定义与性质设。如果存在常数，使得，则称A是Toeplitz矩阵;即如果A是Toeplitz矩阵，则它具有如下形状由此可见， Toeplitz矩阵关于它的东北-西南对角线是对称的.具有这样对称性的矩阵通常
2、称作广对角矩阵，即若是广对称的，则它满足这等价于B满足其中 是n阶反序单位矩阵。由广对称矩阵的等价定义，易证：非奇异的广对称矩阵的逆亦是光对称的。在这一节里，我们假定是给定的对称正定的Toeplitz矩阵。不是一般性，可假定具有如下形状而且在下面的讨论中，我们将用表示的k阶顺序主子阵，即显然,亦是对称正定的Toeplitz矩阵.下面我们分两部分来讨论系数矩阵为的线性方程组的求解问题和的计算问题.5.2 YuleWalker方程组我们先来考虑一类特殊的Toeplitz方程组 （5。2）其中的就是(5.1)中确定矩阵的n-1个常数,是任意给定的实数.这类方程组称作YuleWalker方程组由于这类
3、方程组之右端项的特殊性，所以若记为k阶YuleWalker方程组 （5。3)之解，则可导出由确定的关系式。为此，记则可写作即有 （5.4) (5.5）其中表示k阶反序单位矩阵。注意到是对称正定的Toeplitz矩阵蕴涵着，从（5。4）就可得 （5。6）将（5。6）代入（5。5），并移项整理，得 (5.7）注意到和的正定性，即知。因此，在（5。7)两边同除以,即得 （5.8）这样，我们就找到了与之间的关系,从而，我们就可以从一阶Yule-Walker方程组的解出发，利用公式（5.8）和(5。6）递推求得方程组（5。2）之解；从而容易算出这一求解过程所需要的运算量为。此外， 令 (5.9)则有 （
4、5.10）因此,若在计算时,利用（5.10），便可将计算的运算量减少k-2，从而就可将整个求解过程的运算量为5.3 一般右端项的Toeplitz方程组现在我们来考虑一般右端项的Toeplitz方程组 （5。11）其中是已知向量。类似于Yule-Walker方程组的求解过程，假定是k阶方程组之解,则有 (5.12）其中是k阶Yule-Walker方程组（5。3)之解，是k阶反序单位阵，由下式确定 (5.13)这里这样,我们便可从出发地推求得（5。11）之解。这一求解过程可总结为如下算法。算法I:求解一般右端项的Toeplitz方程组： 1） ，其中是已知向量。通过求解来计算，可得; ,其中；2）
5、 是k阶YuleWalker方程组的解， 是k阶单位阵， 由确定，这里.这样，便可通过出发递推地求得方程组的解。数值算例1。求解YuleWalker方程组：(求解四阶Yule-Walker方程组R11保存方程组的阶数)please input the flag 1 to 3：1please input the string R1N:4 1 3 8R10=5.000000 R11=4。000000 R12=-1.000000 R13=3.000000 R14=8.000000结果y10=5.000000 y11=0.786753 y12=1。675522 y13=2。357687 y14=2.5
6、399505.3 Toeplitz矩阵的逆最后，我们来考虑的计算问题。设可得 （5.14） （5。15） （5.16）由（5。15）可得 (5.17）其中为n1阶YuleWalker方程组的解。将（5.17)代入（5.16)，并整理，得 (5。18）这样,我们只要求得n-1阶YuleWalker方程组之解，就可由(5.18）和（5。17）求出的最后一列和最后一行。下面再来看所具有的特性，从(5。14）可得 （5。19)其中的最后一个等式利用到了和（5.17）.由于是广对称的，故从(5.19）可得 （5。20）这里表示v的第i个分量。也就是说，虽然X并非广对称，但它的元素可由它的关于东北西南对角
7、线的对称元素确定.这样一来,我们就可以利用的广对称性和（5。20）,从的边缘出发，逐层向内计算，求得的全部元素，为了清楚地了解这一过程，我们以n=5为例来说明具体的计算过程.算法II Toeplitz矩阵的逆（以为例)1.通过求解一个5阶的Yule-Walker方程组得到，再利用： ,求出的最后一列和最后一行元素，然后再利用的广义对称性求出相应元素；2。利用及（1）得到的结果,然后再利用的广义对称性,可得到第二层的全部元素；再利用，可求得最中间的元素，则就求得了的全部元素。数值算例2.求解Toeplitz矩阵的逆（5阶） please input the flag 1 to 3:2please
8、 input the string R1N:0。4 1。2 3.4 1。2R10=5.000000 R11= 0.400000 R12=- 1.2 00000 R13= 3。4 00000 R14= 1。20000 得到的结果为 T00= -0.089410 T01= 0。015410 T02= 0.119910 T03= 0。319410 T04= -0.111810T10=-0.015410 T11= 1.137010 T12= -0.205710 T13= 1。434810 T14= 0。319410T20= 0。119910 T21= -0。205710 T22= 1.732610 T
9、23=- -0。205710 T24= 0.119910 T30= 0.319410 T31= -1.434810 T32= -0.205710 T33= 1。137010 T34= 0。015410T40= -0。111810 T41= 0。319410 T42= 0。119910 T43= 0.015410 T44= -0。0894103.一般右端项的Toeplitz方程组:(4阶右端项的Toeplitz方程组R11保存方程组的阶数）please input the flag 1 to 3：3please input the string R1N: “矩阵系数3 4 1 6R1NR10=5
10、.000000 R11=3。000000 R12=4。000000 R13=1。000000 R14=6。000000please input the string bN:6 7 2 4bN “右端项b0=5。000000 b1=6.000000 b2=7。000000 b3=2。000000 b4=4.000000结果:x0=5.000000 x1=6。000000 x2=1。375000 x3=4。512821 x4=0.1002735.4心得体会本次试验我是用c语言完成的，实验过程中，正是因为Toeplitz方程组本身具有的良好的性质：广义对称性.使得在编写程序的过程中节省了很多步骤，整
11、过过程求解的过程即用到向量乘法，这只要两轮循环就可以实现,用c语言很容易实现的。,特别是在求逆的过程中，因为它的对称性,我们可以仅仅去求它的一个倒三角矩阵,这样在一个循环中用三条赋值语句就可以实现。因此，方程组或者矩阵的某些方面的性质会对我们的计算结果，计算方法产生很大的作用。 然而，由于自己对算法的不熟悉和c与语言掌握得不精通。在向量运算的过程中对数组中元素与脚标的关系的处理过程中遇到很多麻烦，对结果的保存处理得不当.我本想用malloc函数开辟内存区以保存结果,但该函数在wintC-191 下无法实现，最后用全局变量保存结果，这使得函数的通用性降低了，而且将得了程序的清晰性。5。5程序#d
12、efine N 5 主函数部分 #includestdio.h float xN； float YN; float TNN； float yN； main() void function1(float RN); void function2（float RN，float bN）; void function3(float RN); float R1N; float bN; int i,j，flag； R10=N; b0=N; printf（please input the flag 1 to 3：n”)； scanf(”d”,flag)； switch（flag） case 1: printf(pl
