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1、四色猜想几年前，我接触到了四色猜想，并被它的神奇深深吸引住。通过很长一段时间的思考，否定，再思考，再否定，我终于找到了一个自认为满意的答案。当然，说她绝对无懈可击我还是没有把握的，我只希望通过这个文章能拓展一下思维，特别是续文中的证明方式，可能也算是开创先河吧。此证明过程分两步进行，并用两个命题引入最后的结论。命题一：出现第五种颜色国家的充要条件是这个国家与四个两两相邻的国家都相邻。（这是一个伪命题，不过对于理解以后的证明有帮助）地图很复杂，国家形状各异，研究起来很困难，所以第一个工作是将地图简化。先引入一个概念：连线。在地图上每个国家上选一个中心点（为理解方便选国家首都），每两个相临的国家都
2、用一根柔线把它们的中心点连起来，并且这些线都只在这两个相邻国家的国土上经过（因此不一定是直线），现在将所有的国家都忽视掉，地图上只剩下很多中心点和很多的柔线。点就代表国家，线就代表相邻关系。连线有一个重要特性：可以不相交。这个不难理解。四个国家两两相邻，用四个点和六条连线可以很清楚的表示出来，如下图：上图是四点两两相连的最简情况之一，还有一种最简情况是正方行的四边和两条对角线，不过上文所书连线可以不相交，因此否决了后者。想在上图中添加第五个点和以上四点都相连且连线不相交，显然是不可能的。换言之，一个平面内不可能出现五个点两两相连且连线不相交。所以得证，不可能出现第五个国家与四个两两相邻的国家都
3、相邻。也就是说不可能出现五个国家两两相邻。以上的证明过程没有错误，而推论的局限在于只考虑了相邻不同色的情况，如果国家不相邻也不同色，上面的推论就不适用了。命题二：出现第五种颜色国家的充要条件是这个国家与四个必不同色的国家都相邻。引入一个新概念影响线(影响线很难理解,所以后面会有一个续文专就影响线做介绍。)影响线若A，B两国必不同色，它们中心点之间必然存在着一些连线，这些线起到影响双方的作用，若A，B相邻，它们的连线就是影响线。若A，B不相邻，影响他们的线会有很多条。需要找到一条最具有代表性的，并将其命名为影响线。若A，B不相邻且必不同色，令A为a色，B为b色。A必不为b色，所以必有一b色国家b
4、1与A相邻，B必不为a色，同样必有一a色国家a1与B相邻。若a1与b1相邻，那么如下图，连接A,b1,a1,B的中心点，这根连线我们就称为A，B的影响线。若a1，b1不相邻,他们不相邻，为什么不能同色？a1必不为b色，为什么？必有一b色非B国家b2与a1相邻，b1必不为a色，同样必有一a色非A国家a2与b1相邻。这样就出现下图的情况。同样的若a2与b2相邻，连接A,b1,a2,b2,a1,B的中心点，这根线就是影响线。若a2与b2不相邻，把刚才的工作进行下去，一直到an与bn相邻，把A,b1,a2,b3,a4an(bn),bn(an) b4,a3,b2,a1,B连起来，这就是A，B的影响线。要
5、找到四个必不同色的国家，就是要找到四个两两影响的国家。也就是说每两个国家之间都有一根影响线。依然是上面这个图，想在中间插入第五点和这四个点都相交且交线与上面的影响线都不相交，也是不可能的。线必须相交才能达到目的，而上面的任何一根影响线实际上都是若干连线组成的，一定相交也违背了可以不相交的原则。同时,这些影响线的真正组成是很多的国家，插入的第五点想穿过影响线上的一个国家与另一个国家相邻也是不可能的。如果能证明上图是四个点两两影响的唯一情况，那么就可以证明出四色猜想了。可以想到，正方行四边加上两条对角线也是一个四点两两相交的最简单例子。证明：影响线不相交！就可以排除这种可能性了。A、B影响线上国家
6、都是a、b色的，C、D影响线上国家都是c、d色的，若他们相交，以交点为中心点的那个国家用什么颜色？所以影响线不相交。那么四个点两两影响就只有上图的情况了。另外，这四个点怎么摆都可以，但是本质上都是一个国家被另三个国家的影响线包围。得证，不可能出现第五个点和已两两影响的四个点都相连且连线不与影响线相交。也就是说，不可能出现第五个国家和四个必不同色国家都相邻。曾经有一段时间，我否定了自己的第二个证明过程，总是感觉不对劲，于是我又想到了第三个步骤，及第三个推论出现第五种颜色国家的充要条件是这个国家与四个必不同色的国家都必不同色，也就是说出现第五种颜色国家的充要条件是这个国家与四个相互影响的国家都影响
7、。而它的证明过程和前面的过程相差不多，但是最后我发现它其实是画蛇添足的一步。 四色猜想(续)影响线对于前文中所书命题一“一个国家不可能和已两两相临的四个国家都相临”我还是可以肯定的。现在所面对的是如何将“影响线”更清楚的描述和定义出来。前文中的影响线的定义有一个巨大的疏忽孤立了所考虑的国家，把其他国家都忽略了！这就很容易给人感觉她不够全面，不够客观。甚至根本不存在。这应该是我的表述存在问题以至别人容易走进错误的胡同。现在换一个方式来描述影响线。假设有一个添图工人，面对一副无限的地图，地图上有无限的国家。随即选取一个国家开始他的添图工作。添到某一个国家X的时候，他发现这个国家和他已经添完的A，B
8、，C，D四个国家相临，而这四个国家已经添上了a,b,c,d四种不同的颜色。这四个国家不可能是两两相临同时又都与X相临（违背命题一）。这样就需要研究一下哪个国家的颜色存在可变性。A与B相临当然必不同色即为一级影响线，不相临不同色时为多级影响线。A不能为b色，因为有一b色国家与A相临，B不能为a色，因为有一a色国家与B相临，这里我不再重复，只是这次需要强调一点，影响线上的每一个国家都是已添完色的国家。例如，从A出发，到相临一b色国家B1，再到B1的相临a色非A国A2，到B2的相临a色国A1，最后到A1相临国B，及为A-B影响线，还是下面这个图。这样看来，既然是针对已添完色的国家，那么影响线自然是客
9、观存在的。另外，还需要补充的一点是，可能AB之间有N条这样的影响线。同样的，A，B不同色，可能根本找不出这样一条影响线。多条影响线的情况并不阻碍证明的继续，反而找出两个不同色的却没有影响的国家，会对证明有积极的推进，暂时将不同色却没有影响的国家之间的这种影响关系称为伪影响。现在，再回到需要改颜色的那四个国家，已经说过他们不可能两两相临，现在要说“他们不可能两两相影响又同时与X相临”已经是板上钉钉的事情了。也就是说A-B，B-C，C-D，D-A，A-C，B-D这六组不同色国家中至少有一组并非影响关系，也就是说伪影响，现在来研究伪影响的两个国家有没有改色的可行性。假设A，B伪影响。A与B不同色，边
10、无色国，可改为色，这个是没有问题的；边有色非国，若边无色非国，那么可改色，可改色；若A边有若干B色非B国，此时，A需要从另外的相临的B色国家B2前进，若B2也无相临A色非A国家，B2也可改为A色（B1，B2既然可同为B色必不相临，所以也可同为A色）。如此若A边上所有B色国都没有相临的A色非A国，那么这些B色国都可以改A色，那么A国就没有相临B色国了，A就可改B色了。也许这个证明看起来有点繁琐，还是用图形来是说明把。如上图，找到一条AB的影响线，中间连不起来（连起来就是真影响线了），A1边上没有B色非B国，所以，这一端无法前进下去，将A1改B色，B改A色即可大功告成。当然，也要考虑多条伪影响线的
11、情况，如下图。 很显然，把上面左半边的AB色国家颜色对调即可，或者右半边。就可以导致AB同色了。另外，伪影响线比真影响复杂的多的一个重点就是有可能出现多及分支，如下图。 有一点始终是万变不离其中的，那就是无论是左半边还是右半边，他都是孤立的N个AB色的国家，将左半边的颜色对调，或者将右半边的颜色对调，对于整个已经添完色的系统来说是没有任何影响的。这样的话就清晰了，至少看到了颜色更改的可行性。如果X仅仅是与刚刚好四个不同色的国家A，B，C，D相临，那么简单了，象上面那样改变其中一个国家的颜色，让ABCD变成三种颜色，证明就这样结束了。然而，复杂的情况还在继续，如果X与N1个A色国家，N2个B色国
12、家，N3个C色，N4个D色国家相临，证明又改如何下去。当然，这N1N2N3N4个国家中肯定还是找不到四个两两相影响的国家。那么将一个集团的同色国家改颜色还是很困难的。随机选取一组国家ABCD，他们中间至少由于一个可以改变颜色，再随机选取一组四个不同色国家，他们中间依然至少有一个可以改变颜色。如此反复下去，总有一天，这N1N2N3N4个国家会被改变成三个颜色。这样说其实是非常不负责任的，缺乏必要的治学严谨性，但是仔细想想，事实又应是如此。虽然可能出现这种情况：第一组国家，可能将A色改成B色，但是第二组国家，可能又是将B色改成了A色。但是不论改到什么情况下去总是存在可改性的，也就是说不到只剩下三中
13、颜色，这种更改是可以永远继续下去的。这种无限下去的工作如果有计算机来完成的话必是很简单，用纸笔的话怕是要找到一条相当有水准的规律才可以。暂时来说，我还没有找到这样一条规律，但是我觉得既然永远都存在可改性，那应该不会是无限循环把。当然有可能这条规律根本就不用寻找，也许通过我这篇续，能让人更清晰，更明确我的影响线。还需要补充一点，对调某一条伪影响线的一端的国家颜色很可能改变其他国家间的影响关系，因为是针对已添完的国家来考虑影响线，所以更改任何一个国家的颜色都可能家其他的影响关系边成伪影响，也可能将伪影响变成真影响，不过这对证明过程还是不会有影响的。以上我的论述，口语化很严重，非常感谢您能耐心看下来！
