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1、变力的功求法集锦第一.平均力法1基本依据:如果一个过程，若F是位移l的线性函数时，即F=kl+b时,可以用F的平均值F = (Fi +F2)/2 来代替F的作用效果来计算。2基本方法：先判断変力F与位移l是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力F和末状态的力F，i2再求出每段平均力和每段过程位移，然后由W = Fl cos a求其功。【例 1】用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm，问击第二次时，能击入多深？(设铁锤每次做功都相等)解析：铁锤每次做功都是克服铁钉阻力做功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比。卩，可用
2、平均阻力来代替。如图所示,第一次击入深度为帀，平均阻力为，做功为:第二次击入深度为眄到也，平均阻力为:两次做功相等:位移为心一工1做功为:耳=I呵1练习 1:例如:用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度 成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第 一次相同，那么，第二次进入木板的深度是多少?解:邑 d = k k (d + d) d : d =(品1)d此题也可用图像法：因为木板对钉子 22的阻力与钉进木板的深度成正比，即F=kd，其图象为图所示。铁锤两次对钉子做功相同，则三角形OAB的面积与梯形ABCD的面积相等，即丄dx(kd) = - I
3、kd + k(d + d认d解得 d二(冷2 - 1)d2 2练习2:要把长为l的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E0，已知钉子在木板中遇到的阻力 与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k。问此钉子全部进入木板需要打击几次？分析:在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。钉子在整个过程中受到的平均阻力为:F = 0+kl =旦钉子克服阻力做的功为：W = Fl =丄kl2设全过程共打击n次，则给予钉子的总能量：E = nE = 1 kl222f2总 o2kl 2 所以n =药01 I制WVWWW
4、m 上一【例2】如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m的木块连接，放在光滑的水平 面上。弹簧劲度系数为k,开始时处于自然长度。现用水平力缓慢拉木块，使木块前进x，求拉力对木块做了多少功？解析：在缓慢拉动过程中，力F与弹簧弹力大小相等，即F=kx。当x增大时，F增大，即F是一变力,求变力做功时，不能直接用Fscosa计算，可以用力相对位移的平均值代替它，把求 变力做功转换为求恒力做功。F缓慢拉木块，可以认为木块处于平衡状态，故拉力等 于弹力，即F=kx。因该力与位移成正比，可用平均力 F二+ kx求功，故2W = F - x = + kx 2。22h【例3】如图所示，在盛有水的圆
5、柱形容器内竖直地浮着一块立方体木块，木块 的边长为h,其密度为水的密度p的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水面高 为2h,现用力缓慢地把木块压到容器底上，设水不会溢出，求压力所做的功。解析：木块下降同时水面上升，因缓慢地把木块压到容器底上，所以压力总等于增加的浮力，压力是 変力，当木块完全浸没在水中的下降过程压力是恒力。本题的解法很多，功能关系、F-S图像法、平均值法 等均可求変力做功，现用平均值法求。木块从开始到完全浸没在水中，设木块下降x 1 ,水块上升X 2 （同体积的水块随木块的下降而上升）h根据水的体积不变，贝V： h2x二h2x 得x = x 所以当木块下降丁时，木块恰好完全浸
6、没在水中， 1 2 12 4F皿广Pgh2（xi + x2）二2Pgh2xi ” xi所以W1 = F4 =宁彳二冒12 = 1 Pgh4木块恰好完全3h 5hh 55浸没在水中经山二2h盲-4 h到容器底部，压力为恒力F T 2所以W2二加 2 2 - 4 h二8 Pgh4故压力所做的功为：w = w + w = 3pgh41 2 4第二. 图象法1原理：在F-l图象中，图线与坐标轴所围成的“面积”表示功，作出变力变化的F_l图象，图象与位移 轴所围的“面积”即为变力做的功。力学中叫作示功图。2、方法：对于方向在一条直线上，大小随位移变化的力，作出F-l图象, 求出图线与坐标轴所围成的“面积
7、”，就求出了变力所做的功。【例1】静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下,圆则小物块运动到x0处时的动能为（）答案（C）0A.0B. 1/2FmXonC.4FmX0nD4Xo2【例2】用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次进入木板的深度是多少?沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图所示，图线为半图象，如图所（面积）即1 2 1-1-I阳江叭一兀=由于两次做功相等，故有：【例3】如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m的褊也 一 X二
8、 0.4 lews分析与解：因为阻力，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出胃一孟 示，函数线与X轴所夹阴影部分面积的值等于F对铁钉做的功。木块连接，放在光滑的水平面上。弹簧劲度系数为k,开始时处于自然长度。现用水平力缓慢拉木块，使木块前进X,求拉力对木块做了多少功。此题也可用图像法：F缓慢拉木块，可以认为木块处于平衡状态，故拉力等于弹力，即F=kx，作出F-x图，求出图线与坐标轴所围成的“面积”，结果也是W二F x = ikx2。2练习：放在地面上的木块与一劲度系数k = 200N / m的轻弹簧相连。现用手水0-20.6 x/in平拉弹簧，拉力的作用点移动X = 0.2m时，木块开始
9、运动，继续拉弹簧，木块缓慢 移动了 x2 = 0.4m的位移，求上述过程中拉力所做的功。+0.4)x407-207分析：由题意作出F-x图象如图所示，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系, 木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功。即第三用公式矿二丹求解1基本原理：在机车的功率不变时，根据P = Fv 知,随着速度v的增大，牵引力将变小，不能用W = Fl 求功，但已知功率恒定，所以牵引力在这段时间内所做的功可以根据从二H求出来。2基本方法：因为功率恒定，所以设法求出做功的时间，然后即可按朋二丹求出这段时间牵引力的功。 （在已知平均功率一定时，也可采用
10、这种方法）【例1】质量为m的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的k倍，机车经过时间t速度 达到最大值v,求机车的功率和机车所受阻力在这段时间内所做的功。解析：机车的功率恒定，从静止开始达到最大速度的过程中，牵引力不断减小，当速度达到最大值时，机车所受牵引力达到最小值，与阻力相等。在这段时间内机车所受阻力可认为是恒力，牵引力是变力，因 此，机车做功不能直接用肛二用C观口来求解，但可用公式莎来计算。根据题意，机车所受阻力八呢，当机车速度达到最大值时，机车功率为：旳二碍,该时间内机车牵引力做功为：矿二卩根据动能定理，得牵引力克服阻力做功为:根据故阻力做功为:练习1：质量为5t的汽车以恒定
11、的输出功率75kW在一条平直的公路上由静止开始行驶，在10s内速度% - A 饬.达到10m/s，求摩擦阻力在这段时间内所做的功。分析：汽车的功率不变，根据P = Fv知，随着速度v的增大，牵引力将变小，不能用“ =FI求功,Ffj = Ff = 75xlO3 107但已知汽车的功率恒定，所以牵引力在这段时间内所做的功，再由动能定理得： + TV =丄0 町=；佔_审F =_5乂血2所以-2练习2：质量为5000Kg的汽车，在平直公路上以60kW的恒定功率从静止开始启动，速度达到24m/s的最大速度后，立即关闭发动机，汽车从启动到最后停下通过的总位移为1200m.运动过程中汽车所受的阻力 不变
12、.求汽车运动的时间。解析：牵引力是変力，该过程中保持功率P恒定，牵引力的功可以通过W = Pt来求。汽车加速运动的 时间为乃，由动能定理得：Pt -F -s = 01 1 fP汽车达到最大速度时，牵引力和阻力大小相等，则P = Fv = F -v 即F二 可求得汽车加速运 mf mf Vm一F - ss 1200 、一 亠动的时间为t = f =s = 50s关闭油门后，汽车在阻力作用下做匀减速直线运动至停止，由i P v 24m厂 小mv mv 25000 x 242动量定理得：-F - t = 0 - mv可求得汽车匀减速运动的时间为t = m = m =S = 48S则f 2m2 F P
13、60 X1000f汽车运动的时间为：t=t+t2=50s+48s=98s小结：对于交通工具以恒定功率运动时，都可以根据=来求牵引力这个变力所做的功。第四等效变换法：1基本思路：在某些情况下，通过等效变换可以将变力做功转换成恒力做功，然后用WF= lcosa求解。2基本方法：找出不变的因素，将变力做功转换成恒力做功及与之对应的位移，然后用求功公式求解。【例1】如图所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体。开始时与物体相连的轻绳和水平面间的夹角为a当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为卩。已知图中的高度是h,绳与 滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力ft对物体所做的功。分析：拉力ft在对
14、物体做功的过程中大小不变，但方向时刻改变，所以这是个变力做功问题。由题意 可知，人对绳做的功等于拉力FT对物体做的功，且人对绳的拉力F是恒力，于是问题转化为求恒力做功。I sinasin由图可知，在绳与水平面的夹角由a变到卩的过程中，拉力F的作用点的位移为:山=s - s12所以绳对物体做功：W = W = F*As = FhX.A WTTW */少丿严”#7TF变式：如图所示，质量为m的滑块可以在光滑水平面上滑动，滑块与 不可伸长的轻绳相连，绳跨过一光滑的定滑轮（滑轮大小不计），另一端被 人拉着，人的拉力大小、方向均不变，大小为=丸曲，已知滑轮到水平面的高度为丘二弧，AB的长度二4耶，求滑块
15、从A被拉到B的过程中，外力对它所做的功。解析:同上，由几何关系可求得s,根据【例2】以一定的速度竖直向上抛出一小球，小球上升的最大速度为h空气的阻力大小恒为F,则从 抛出至落回出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为（）答案:CA0BFhC2FhD4Fh解析:从全过程看，空气的阻力为变力，但将整个过程分为两个阶段：上升阶段和下落阶段，小球在每个阶段上受到的阻力都是恒力，且总是跟小球运动的方向相反，空气阻力对小球总是做负功，全过程空气阻力对小球做的功等于两个阶段所做功的代数和，即W =W + W = （- Fh）+（- Fh）= -2 Fh上下点拨:空气阻力、摩擦阻力是一种特殊的力，在计算这种力做功时，不可简单地套用功的计算公式W = Fl cos a得出W=0的错误结论.从上面的正确结果可以看出
