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1、高考导航1.数列中不等式的证明是浙江高考数学试题的压轴题；2.主要考查数学归纳法、放缩法、反证法等数列不等式的证明方法，以及不等式的性质；3.重点考查学生逻辑推理能力和创新意识热点一数学归纳法证明数列不等式(规范解答)数学归纳法是解决和正整数有关命题的证明方法，可以借助递推公式，证明由特殊到一般的结论成立问题因此，可以在数列不等式的证明中大显身手【例1】 (满分15分)(2019绍兴检测)已知数列an满足，a11，an.(1)求证：an1；(2)求证：|an1an|；(3)求证：|a2nan|.满分解答证明(1)由已知得an1，又a11，则a2，a3，a4，猜想an1.2分(得分点1)下面用数
2、学归纳法证明当n1时，命题显然成立；假设nk时，有ak1成立，则当nk1时，ak11，ak1，即当nk1时也成立，所以对任意nN*，都有an1.5分(得分点2)(2)当n1时，|a2a1|，当n2时，因为11，所以|an1an| |anan1|a2a1|.综上所述，|an1an|.10分(得分点3)(3)当n1时，|a2a1|；当n2时，|a2nan|a2na2n1a2n1a2n2an1an|a2na2n1|a2n1a2n2|an1an|.综上，|a2nan|.15分(得分点4)得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为营”，求得满分如(1)中，归纳猜想得2分；用数学归纳法证明得3分，第(2)放缩法
3、证明结论得5分等得关键分：解题过程不可忽略关键点，有则得分，无则没分如(1)中的猜想，数学归纳法的两个步骤，(2)(3)中均分n1，n2加以推证等得计算分：准确计算是得满分的基本保证如(1)中a2，a3，a4的正确计算，(2)(3)中放缩结果的计算等第一步：归纳猜想；第二步：用数学归纳法证明；第三步：验证n1时(2)的结论成立；第四步：用放缩法证明n2时(2)的结论成立；第五步：验证n1时(3)的结论成立第六步：用放缩法证明n2时(3)的结论成立【训练1】 (2019温州模拟)数列an的各项均为正数，且an1an1(nN*)，an的前n项和是Sn.(1)若an是递增数列，求a1的取值范围；(2
4、)若a12，且对任意nN*，都有Snna1(n1)，证明：Sna1a11a1，得0a1a2a21a20a220a112，得1a12，由，得1a12.下面用数学归纳法证明：当1a12时，1an2对任意nN*恒成立当n1时，1a12成立；假设当nk(k1，kN*)时，1ak2成立，则当nk1时，ak1ak121，2)(1，2)综上，可知1an0，即an是递增数列所以a1的取值范围是(1，2)(2)证明因为a12，可用数学归纳法证明：an2对任意nN*恒成立于是an1an10，即an是递减数列在Snna1(n1)中，令n2，得2a11S22a1，解得a13，故2a13.下证：当2a1时，Snna1(
5、n1)恒成立事实上，当2a1时，由于ana1(ana1)a1a1，于是Sna1a2ana1(n1)na1(n1)再证：当时，设anbn2，则由an1an1可得bn1bn1，得，于是数列bn的前n项和Tnb13b13，故Sn2nTn0)，则由(*)式得Snna1(2a1)n3na1(n1)tn，只要n充分大，就有Snna1(n1)，这与Snna1(n1)矛盾所以a13不合题意综上，有2a1.于是，故数列bn的前n项和Tnb1b11，所以Sn2nTn0，an12(nN*)(1)求证：an2an11(nN*)证明(1)由an0，an12，得an12an22(由题知an1an2)，所以1，所以an2a
6、n1.所以an2an1N时，anaN11.根据an1110，而an1，于是1，1.累加可得n1.(*)由假设可得aNn11时，显然有n10，因此有1(nN*)探究提高在本例中，(1)首先根据已知不等式由an122证明不等式的右边，再根据已知不等式利用基本不等式，可证明不等式的左边；(2)考虑反证法，即假设存在aN1，利用条件和(1)，并结合放缩法逐步推出矛盾进而证明不等式成立【训练2】 (2019浙江卷)设数列an满足|an|1，nN*.(1)证明：|an|2n1(|a1|2)，nN*；(2)若|an|，nN*，证明：|an|2，nN*.证明(1)由1，得|an|an1|1，故，nN*，所以1
7、1，因此|an|2n1(|a1|2)(2)任取nN*，由(1)知，对于任意mn，故|an|2n2n22n.从而对于任意mn，均有|an|22n.由m的任意性得|an|2.否则，存在n0N*，有|an0|2，取正整数m0log且m0n0，则2n02n0|an0|2，与式矛盾综上，对于任意nN*，均有|an|2.热点三放缩法证明数列不等式放缩法是证明不等式的基本方法和基本技能，找到合理的放缩依据恰当放缩是其关键【例3】 (2019湖州调研)已知数列an满足a1，an1，nN*.(1)求a2；(2)求的通项公式；(3)设an的前n项的和为Sn，求证：Sn.(1)解由条件可知a2.(2)解由an1得，
8、即1，所以是等比数列，又1，则1，所以1.(3)证明由(2)可得an.所以Sn，故Sn成立另一方面an，所以Sna1a2a3an，n3，又S1，S2，因此Sn.所以Snan；(2)证明：an2；(3)设数列的前n项和为Sn，求证：1Sn0，所以an1an.(2)因为2an14a2anan(an2)，所以，所以an2(an12)(an22)(a12)，所以an2.(3)因为2(an12)an(an2)，所以，所以，所以Sn 1，因为an12，所以0，所以1Sn11.1数列an中，a1，an1(nN*)(1)求证：an1an；(2)(一题多解)记数列an的前n项和为Sn，求证：Sn0，且a10，所
9、以an0，所以an1anan0，所以an1an，nN*.(2)法一因为anan1an1an2an1an2a11an1an2a1，所以Sn0，所以Sna1a2an20.由0an得(1，2，即12成立(2)由题意得aanan1，所以Sna1an1.由和12得12，所以n2n，因此an1(nN*)由得(nN*)3(2019杭州高级中学模拟)在正数数列an中，a1，an1a2.求证：1an1an.证明an11a120，所以an11，因为an1a2，所以an2a2，相减，an2an1(an1an)，因为an11，an1，所以an1an2，2，所以an1an0，所以an2an1与an1an同号，又a2a2a1，故a2a10，所以an1an0，即an1an，综上，1an1an.4(2019浙江卷)已知数列xn满足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN*)证明：当nN*时，(1)0xn1xn；(2)2xn1xn；(3)xn.证明(1)用数学归纳法证明：xn0.当n1时，x110.假设nk(k1，kN*)时，xk0，那么nk1时，若xk10，则0xkxk1ln(1xk1)0，矛盾，故xk10，因此xn0(nN*)所以xnxn1ln(1xn1)xn1，因此0xn1xn(xN*)
