《级数概念与性质.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《级数概念与性质.doc（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、级数看法与性质第十一章无量级数教课内容目录：18本章主要内容：常数项级数：无量级数及其收敛与发散的定义，无量级数的基天性质，级数收敛的必需条件，几何级数，调解级数，P级数，正项级数的比较审敛法和比值审敛法，交织级数，莱布尼兹定理，绝对收敛和条件收敛。幂级数：幂级数看法，阿贝尔（Abel）定理，幂级数的收敛半径与收敛区间，幂级数的四则运算，和的连续性、逐项积分与逐项微分。泰勒级数，函数睁开为幂级数的独一性，函数（ex、sinx、cosx、ln(1+x)、(1+x)m等）的幂级数睁开式，幂级数在近似计算中的应用举例，“欧拉（Euler）公式。函数项级数：函数项级数的一般看法，见效域及和函数。教课目
2、标与要求：1、理解无量级数收敛、发散以及和的看法，认识无量级数基天性质及收敛的必要条件。2、掌握几何级数和P级数的收敛性。3、掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。4、理解交织级数的审敛法（莱布尼兹定理）。5、认识无量级数绝对收敛与条件收敛的看法以及绝对收敛与收敛的关系。6、认识函数项级数的收敛域及和函数的看法。7、掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。8、认识幂级数在其收敛区间内的一些基天性质。9、认识函数睁开为泰勒级数的充分必需条件。10、掌握应用ex,sinx,cox,en(1+x)和(1+x)u的马克劳林（Maclaurin）睁开式将一些简单的
3、的函数间接睁开成幂级数的方法。11、认识函数睁开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirchet）条件，会将定义在（-,）上的函数睁开为傅里叶级数，并会将定义在（-,）上的函数展开为正弦或余弦级数。1本章要点与难点：要点:正项级数的审敛法；将一些简单的的函数间接睁开成幂级数难点：应用逐项积分、逐项微分的性质乞降函数、本章计划学时：16学时（2节习题课）教课手段：讲堂讲解、习题课、谈论，同时结合多媒体教课介绍阅读文件：1.高等数学同步指导(下)(第十一章)主编同济大学应用数学系彭舟航空工业第一版社2. 高等数学名师导学(下)(第十一章)主编大学数学名师导学丛书编写组中国水利水电第一版社3
4、.高等数学双博士讲堂(第十一章)主编北京大学数学科学学院机械工业第一版社作业：习题111：2(2、4)、3(2)、4(1、3、5)习题112：1(1、3、5)、2(2、4)、3(1、3、4)、4(1、3、5)、5(1、3、5)习题113：1(1、3、5、6、8)、2(1、3)习题114：1、2(2、3、5)、4、6习题117：1(1、3)、2(1)、4、6能力培育及措施:经过精讲多练,启迪式教课,谈论式教课,要点讲解要点、难点，自学部分内容,讲堂谈论,结合习题课及多媒体教课培育学生的比较娴熟的运算能力、逻辑推理的能力及抽象思想能力,介绍学生阅读有关文件培育学生自学能力.211-1常数项级数的看
5、法和性质问题的提出计算半径为R圆的面积用内接正32n边形的面积逐渐迫近圆面积：正六边形面积Aa1，正十二边形面积Aa1+a2,正32n形面积Aa1+a2+an若内接正多边形的边数n无穷增大，则和a1+a2+an的极限就是所要求的圆面积A。这时和式中的项数无穷增加，出现了无量多个数目挨次相加的数学式子。一、常数项级数的看法1.常数项级数假如给定一个数列u1,u2,u3,un,则表达式u1+u2+u3+un+(1)叫(常数项)无量级数，简称(常数项)级数，记为u即nn1un=u1+u2+u3+un+un-一般项n 1注1：如何理解级数中无量多个数目相加呢？观察有限项和的变化趋向2.级数的部分和：n
6、前n项的和snu1u2unui(2)i1部分和数列sn:s1u1s2u1+u2snu1+u2+u3+un3.级数的收敛与发散定义（敛散性）假如级数un的部分和数列sn有极限s，即limsns,n1n则称无量级数un收敛,极限s为这级数的和,并写成n13s u1+u2+u3+un+假如数列sn没有极限,则称无量级数n1un发散.注2：若级数收敛，nrnnun1un2叫做级数的s是和S的近似值，ss余项,sn取代和S所产生的偏差是该余项的绝对值，即偏差是rn。例1鉴别级数1的收敛性.1(n2)(n3)n解un112n3nn111111111sn()k1(k2)(k3)()()3n33445n2n3
7、limsn1因此级数收敛，它的和是1。n33例2谈论等比级数(几何级数)aqn(a0,q：级数的公比)的收敛性。n0分析：若q1,snaaqaqn1aaqn1q当q1时，limqn0,limsnaq,级数收敛，其和aq.当q1时,nn11limqn,limsn,级数发散当q1时，级数发散。nn即：若q1，级数收敛；若q1，级数发散例3谈论调解级数1111的收敛性1n13nn2分析由于xln1xx01ln2,1ln3,1ln4,1lnn12233nn1111ln23ln4n1lnn123nln3lnn2limsnlimlnn1因此级数发散nn二、收敛级数的基天性质4性质1若级数un收敛于和s,则
8、级数kun也收敛，且其和为ks.n1n1分析：设un与kun的部分和分别为sn与n,则nksn,n1n1limnlimksnklimsnks.则kun收敛，和为ks.nnnn1由nksn知，若sn无极限且k0,则n也无极限结论：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不会改变.333级数收敛；222级数发散n02n32nn1n2n22性质2若un、vn分别收敛于s、,则(unvn)也收敛，且其和为s.n1n1n1分析：un、vn：sn、n,(unvn)的部分和nsnnn1n1n1limns.则(unvn)收敛，且其和为s.nn1注3：性质2也说成：两收敛级数能够逐项相加减.性质3在级数中
9、去掉或加上有限项，不会改变级数的收敛性.分析：只要证明“在级数的前面部分去掉或加上有限项,不会改变级数的收敛性”,由于其余情况(即在级数中随意去掉、加上或改变有限项的情况)都能够看作在级数的前面先去掉有限项,而后再加上有限项的结果.将级数u1+u2+u3+uk+uk1+ukn+的前k项去掉，得级数uk1+ukn+新级数的部分和为n=uk1+ukn=snksk,此中skn是原级数的前k+n项的和因sk是常数，故n时，n与skn或许同时有极限，或许同时没有极限.近似地，能够证明在级数的前面加上有限项，不会改变级数的收敛性.性质4假如级数un收敛,则对这级数的项随意加括号后所成的级数n15(u1un1)(un11un2)(unk1unk)(2)仍旧收敛,且其和不变.即加括弧后所成的级数收敛,且其和不变.注意假如加括弧后所成的级数收敛,则不可以判定去括号后本来级数也收敛.比方,级数(1-1)+(1-1)+收敛于零,但级数1-1+1-1+是发散的.推论：假如加括弧后所成的级数发散,则本来级数也发散事实上，假如本来级数收敛，则依据性质4知道，加括弧后的级数就应该收
