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1、微分形式及其应用1 引子 两个函数，如何检验它们是否互为函数呢？比如 ，它们之间就有关系，这很明显。但是对于复杂的函数就未必一眼看得出。另一个老实的办法是，计算它们的雅克比行列式，因此它们相关，互为函数关系。 对于多元的就要麻烦些，要计算多个雅克比。比如，要想判定他们是否互为函数，就要判定，都为0才对。有没有更好的表达方式呢？有利用外微分（过一会再解释）好奇怪的运算规则：任何两个函数微分的外积，互换次序得负；任何相同表达式微分的外积为0。，这让我们想起了面积的定义。对了！外积的意义就是面积。我们重新理解一下（见图）如果将作为两个变量，则组成空间。作为的函数，当改变时，也随之改变。当函数互不关联
2、（不互为函数时），由于各自独立改变，当遍历一个非常小的方形区域时，也形成一个小面积。但是当函数互为关联（互为函数时），由于各自改变不独立，当遍历一个非常小的方形区域时，仅在一个小线段上（或者在一个点，总之在低维的空间上）运动。由于就代表面积元，因此为0.可见，在高维空间中，微分形式非常有用啊！2 微分形式我们看在二维空间上的一个线积分是 定义的一段曲线（在这里是半圆弧线）。可以很容易积分出来如果换一条曲线，会得到另一个值。比如，如果是定义的一段抛物线，可得积分如果不定义曲线，这个积分则不能得到具体的数值。因此，可以认为这个积分是曲线的函数，也就是说，给定一条曲线，它就能给出一个值。我们称它为积
3、分形式。（只有形式，等待内容曲线）如果去掉积分号我们则称其为微分形式（只有形式，等待内容曲线或1维的映射）。给定一个映射，如，我们就能计算这个微分我们称映射将二维空间上的微分形式，拉回到1维空间上。微分形式是与坐标无关的。也就是说，一个积分形式，不论如何改变坐标系，只要定义的曲线不变，其积分值是不变的。同样，一个微分形式，不论如何改变坐标系，只要定义的曲线不变，其微分是不变的。这个性质，满足了物理学描述客观性的愿望，因此物理规律（物理方程）用微分形式表达非常简单漂亮。3 微分形式的外积我们看面积分，给定一个面，就可以计算这个积分。但是这个表达式有一个缺憾，就是对于复杂表达，如定义模糊。我们看变
4、换变量时，这个表达式变为，其中是变换的Jacobi行列式。因此我们将其表达为，规定对于任何表达式，都要满足，则变量改变就可以名正言顺地写为刚好满足变量变换的关系。这样我们类推地定义外积：我们知道一个微分形式（1-形式）描述了一个线形式。可以推理，两个1-微分形式，可以构造出面形式（2-微分形式）。如果两个1-微分形式外积为0，这两个微分形式相关，即存在某个函数使得4 外微分 给定一个1-微分形式能否得到一个2-微分形式？可以通过外微分。我们定义一个微分形式的外微分，与这个微分形式的闭合回路积分有关。对于无穷小面元，有其边界组成的闭合回路具体地5 微分形式的应用1 函数是常函数2 函数极值点表明
5、自变量改变时，函数值不变。比如，得到。如果将函数看成映射，在这一点的映射出现奇异，即这一点附近无穷小的邻域映射为一点。非奇异点处奇异点处函数值空间函数值空间自变量空间自变量空间3 两个函数相关（这在引子中给出了）如果将函数看成映射，将自变量整个空间映射成一条线或点（低于2维的空间）。Xfg 3个函数相关其他以此类推。4 条件极值即在情况下计算的极值。通常用Lagrange乘子法，这里可以用微分形式表达式。在极值点附近区域映射为线。Xfg非奇异点处奇异点处比如在约束，情况下计算的极值点。因为所以得到，与Lagrange乘子法计算的一致，但是方程简单。多个约束以此类推，如两个约束极值问题, 在情况
6、下计算的极值, 就可以按照下面方程给。5 计算偏导数问题在热力学中经常需要计算各种偏导数问题。采用微分形式可以方便地计算。热力学中只有两个自由参数。利用等关系定义变量间关系。将其外微分，得到那么热力学可以方便地给出热力学公式，比如，两边除以可以得到可以得到对任意一个等式，都可以改变自变量如 外微分后除以可以得到三对换关系就是求导换自变量比如方便得很6 正交曲线坐标系的求导公式形式地写作，可以特解，其齐次方程的解 满足的解为 根据微分关系记忆很容易 , 系数反对称化是的要求例如 球坐标系根据这个公式可以写出在球面坐标系下的各种梯度、旋度、散度等。方法是方向矢量的偏微分直接计算。记住这个公式，需要
7、借助立体图。图中画出了点及经过其点曲面坐标的三个单位矢量；改变形行成的大圆弧，改变形成的小圆，改变形成通过坐标原点的射线。改变不会影响这些方向。每个单位矢量在这些变化中，形成的图形：大圆，小圆，上椎体，下椎体。（1）当改变时，是大圆的径向，变化量为大圆半径为1时对应的弧长，大圆切线方向；当改变时，是下椎体母线方向，改变量为母线长度为1时对应椎体边弧长，方向小圆切线方向；（2）当改变时，是大圆切线方向，改变向心方向；当改变时，是上椎体母线方向，改变量为母线为1时的体边弧长，方向小圆切线方向；（3）当改变时，平行移动；当改变时，是小圆切线，按照小圆转动，改变向心方向；在柱面坐标系中，完全通过直观可以给出7 包络几何（包络线，包络面等）理论含有参数的方程组代表空间几何曲线或几何面簇，当参数改变时，几何曲线或几何面会随之改变。这些几何簇的包络就是他们共切的曲线。定义了一簇低维面，如果将参数改变后仍满足，于是可以得到包络几何满足的方程，这就定义了包络几何。设原方程代表N维空间中m维的曲面簇，x的维数是N，f的维数是（N-m），其包络为N维空间中N+1-2（N-m）=2m+1-N维的曲面，当N=2m+1时，则不存在包络几何。如二维空间中的曲线簇，其包络是曲线；三维空间中的曲面线簇，其包络是一个曲面；三维空间中的曲线簇，其包络可能只是一个点。如下是计算线簇y=a sin(ax) 及其包络线。
