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1、【小学数学一题多解系列】几何计算题例116 有两个完全相同的长方体恰好拼成了一个正方体，正方体的表面积是30平方厘米.如果把这两个长方体改拼成一个大长方体，那么大长方体的表面积是多少？（北京市西城区）【分析1】因为正方体有6个相等的面，所以每个面的面积是306=5平方厘米.拼成一个大长方体要减少一个面的面积，同时增加两个面的面积.由此可求大长方体的表面积.【解法1】30-306+3062=30-5+10=35（平方厘米）.或： 30+306（2-1）=30+5=35（平方厘米）.【分析2】因为拼成大长方体后，表面积先减少一个面的面积，同时又增加两个面的面积，实际上增加了一个面的面积.【解法2】
2、 30+306=30+5=35（平方厘米）.【分析3】把原来正方体的表面积看作“1”.先求出增加的一个面是原来正方体表面积的几分之几，再运用分数乘法应用题的解法求大长方体的表面积.【分析4】因为原来正方体的表面积是6个小正方形面积的和，拼成大长方体的表面积是7个小正方形面积的和，所以可先求每个小正方形的面积，再求7个小正方形的面积.【解法4】306（6+1）=3067=35（平方厘米）.答：大长方体的表面积是35平方厘米.【评注】比较以上四种解法，解法2和解法3是本题较好的解法.例117 大正方体棱长是小正方体棱长的2倍，大正方体体积比小正方体的体积多21立方分米，小正方体的体积是多少？（北京
3、市东城区）【分析1】把小正方体的体积看作“1倍”，那么大正方体的体积是小正方体的222=8（倍），比小正方体多8-1=7（倍）.由此本题可解.【解法1】21（222-1）=217=3（立方分米）.【分析2】把小正方体的棱长看作“ 1”，那么大正方体棱长就是2.【分析3】先求出大、小正方体的体积比，再求21立方分米的对应份数，最后求出每份的体积即小正方体的体积.【解法3】大、小正方体的体积比？（222）（111）=81小正方体的体积是多少立方分米？21（8-1）=3（立方分米）答：小正方体的体积是3立方分米.【评注】解法1的思路简单，运算简便.例118 一个圆锥形麦堆，底面周长是25.12米，高
4、是3米.把这些小麦装入一个底面直径是4米的圆柱形粮囤内正好装满，这个圆柱形粮囤的高是多少米？（天津市和平区）【分析1】由题意可知，麦堆的体积等于圆柱粮囤的体积.所以先求出麦堆的体积，再除以圆柱粮囤的底面积，即得粮囤的高。【解法1】麦堆的底面半径是多少？25.123.142=4（米）麦堆的体积是多少立方米？圆柱粮囤的高是多少米？综合算式：【分析2】根据麦堆的体积和圆柱粮囤体积相等列方程解.【解法2】设圆柱粮囤高是h米.体积，而这个圆柱与粮囤的体积相等，即积一定，根据圆柱体积=r2h可知，圆柱高h与半径的平方r2成反比例.由此列方程解.【解法3】设圆柱粮囤高为h米.麦堆底半径：25.123.142
5、=4（米）粮囤底半径：42=2（米）16=4hh4答：这个圆柱形粮国的高是4米.【评注】解法3的思路最简单、最灵活，运算最简便，是本题的最佳解法.例119 一个圆锥体的体积是36立方分米，高是9分米，比与它等底的圆柱体的体积小12立方分米，这个圆柱体的高是多少分米？（天津市河西区）【分析1】先求圆锥的底面积即圆柱的底面积，再求圆柱体积，最后求圆柱的高.【解法1】圆柱底面积是多少？3639=12（平方分米）圆柱的体积是多少？36+12=48（立方分米）圆柱的高是多少？4812=4（分米）综合算式：（36+12）（3639）=4812=4（分米）.【分析2】如果设圆柱高为h，那么它相当于高为3h的
6、等底圆锥，而这的高与圆锥的体积成正比例.【解法2】设圆柱体的高是h分米.（36+12）3h=369答：这个圆柱体的高是4分米。【评注】解法2的思路简单明白，运算最为简便，是本题的较好解法.本题还可用方程解，读者试解一下.例120 如下图，求阴影部分的面积（单位：厘米）.（湖北省武汉市）【分析1】从图中条件可知，三角形为等腰直角三角形，所以两个锐角都是45.因此用三角形的面积分别减去三个扇形的面积，即得阴影面积.【解法1】（10+10）（10+10）2=20202-3.1425-3.1425=200-78.5-78.5=43（平方米）【分析2】因为三个空白扇形恰好拼成180的扇形，所以用三角形的
7、面积减去圆心角是180的扇形面积，即得阴影部分的面积.【解法2】（10+10）（10+10）2=20202-3.1410102=200-157=43（平方厘米）.【分析3】同分析2.用三角形的面积减去半圆的面积，即得阴影部分的面积.【解法3】（102）（102）2-3.1410102=200-157=43（平方厘米）.答：阴影部分的面积是43平方厘米.【评注】 比较以上三种解法，解法3的思路较灵活，运算简便，是本题较好解法.例121 右下图是由若干个1立方厘米的正方体木块摆成的图形，它的体积是多少立方厘米？（广东省广州市越秀区）【分析1】把此图分为三层，最底层的长是5厘米，宽是4厘米，高是1厘
8、米，由此可求底层的体积.同样可求第一层和第二层的体积，再将三层的体积加起来即得此形体体积.【解法1】最底层的体积是多少？541=20（立方厘米）第一层和第二层的体积共多少？422=16（立方厘米）此形体的体积是多少？20+16=36（立方厘米）综合算式：541+422=20+16=36（立方厘米）.【分析2】把这个形体切成一个长4厘米、宽3厘米、高1厘米和一个长4厘米、宽2厘米、高3厘米的两个长方体，求其体积和.【解法2】431+423=12+24=36（立方厘米）.【分析3】把原形体补充为一个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体，求出它的体积，再减去多补充的体积432=24（立方厘米），即得
9、原形体的体积.【解法3】543-432=60-24=36（立方厘米）.【分析4】因为第一、二层共有422=16（块），第三层有45=20（块），三层共36块，并且每块1立方厘米，由此可求36块多少立方厘米.【解法4】1（422+45）=1（16+20）=36（立方厘米）.答：它的体积是36立方厘米.【评注】以上四种解法各有特色，读者可根据自己的实际情况灵活选用.例122 如图，已知圆的直径是8厘米，求阴影部分的周长和面积.（陕西省西安市新城区）【分析1】图中阴影部分的周长是大圆半周长与小圆两个半周长的和，它的面积是大半圆的面积与小半圆面积的差，再加小半圆面积的和.【解法1】周长：3.1482+
10、3.14（82）22=25.122+12.5622=12.56+12.56=25.12（厘米）=3.14442-3.14222+3.14222=25.12（平方厘米）.【分析2】由图可知两个小半圆是相等的，因此阴影小半圆恰好补充空白小半圆，那么阴影面积等于大圆面积减去空白大半圆面积；阴影周长是小圆周长与大圆半周长的和.=12.56+12.56=25.12（厘米）=3.1416-3.148=3.14（16-8）=25.12（平方厘米）.【分析3】因为大圆直径是小圆直径的2倍，所以小圆的周长和大圆的半周长相等，由此可知阴影部分周长恰是大圆的周长.将阴影小半圆移到空白小半圆使其重合，那么阴影部分恰是
11、大半圆.【解法3】周长：3.148=25.12（厘米）=3.14162=25.12（平方厘米）.答：略.【评注】比较以上三种解法，解法3的思路最直接最灵活，运算最简便，是最佳解法.例123 如图，求阴影部分的面积（单位：厘米）.（辽宁省大连市中山区）【分析1】先求出扇形的半径和圆心角的度数，再根据扇形面积公式求阴影的面积.【解法1】半径：362=18（厘米）圆心角：360-60=300阴影面积：=847.8（平方厘米）.【分析2】先求出扇形所在圆的面积，再求阴影部分占圆面积的几分之几，最后运用分数乘法应用题的解法求阴影面积.=3.14270=847.8（平方厘米）.【分析3】先求扇形所在圆的面
12、积，再求空白扇形的面积，用圆面积减去空白扇形面积，即得阴影扇形的面积.=3.141818-3.14183=847.8（平方厘米）.【分析4】把扇形所在圆的面积看作“1”，那么空白扇形的面积占圆的面积.=3.14270=847.8（平方厘米）.答：阴影部分的面积是847.8平方厘米.【评注】比较以上四种解法，解法1的思路最简单，运算最简便，是本题最佳解法.例124 在一个现代化的体育馆里铺设了30块长20米、宽3.5米、厚0.03米的硬塑地板，这个体育馆的面积有多少平方米？（江苏省南京市鼓楼区）【分析1】先求出每块硬塑板的占地面积，再求30块硬塑板的面积即体育馆占地面积.【解法1】203.530
13、=7030=2100（平方米）.【分析2】把这30块硬塑板平放成宽20米，长是30个3.5米的长方形，求出这个长方形的面积即体育馆的面积.【解法2】3.53020=10520=2100（平方米）.【分析3】把这30块硬塑板平放成长是30个20米、宽是3.5米的长方形，求出这个长方形的面积即体育馆的面积.【解法3】20303.5=6003.5=2100（平方米）.答：这个体育馆的面积有2100平方米.【评注】解法1的思路最直接，解法最佳.例125 求图中阴影部分的面积（单位：厘米）.（吉林省）【分析1】先求平行四边形的面积，再求空白三角形的面积，用平行四边形的面积减去三角形的面积，即得阴影部分的
14、面积.【解法1】84-842=32-16=16（平方厘米）.【分析2】假设ae是6厘米，那么be的长是8-6=2厘米.由此直接求出两个阴影三角形的面积，再求它们的面积和，即得阴影面积.【解法2】假设ae长6厘米，那么be的长是8-6=2厘米.642+242=12+4=16（平方厘米）.【分析3】因为三角形dec和平行四边形等底等高，所以三角形dec的面积是平行四边形面积的一半.由此求出平行四边形的面积再除以2即得阴影部分的面积.【解法3】842=16（平方厘米）.【分析4】把三角形ade沿ab向右平移，使ad与bc重合，这样两个阴影三角形恰好拼成一个底是8厘米、高是4厘米的三角形，求出此三角形
15、的面积即得阴影面积.【解法4】842=16（平方厘米）.答：阴影部分的面积是16平方厘米.【评注】解法1和解法2虽然易于理解和掌握，但运算较繁.解法3和解法4的思路直接，简单灵活，运算简便，是本题最佳解法.例127 如图，求阴影部分的面积（单位：厘米）.（湖南省长沙市东区）【分析1】先求大半圆的面积，再求小半圆的面积，用大半圆面积减去小半圆面积即得阴影部分的面积.=1413-39.25=1373.75（平方厘米）.【分析2】先求大圆面积，再求小圆面积，用大圆面积减去小圆面积，再除以2即得阴影部分的面积.=（2826-78.5）2=2747.52=1373.75（平方厘米）.【分析3】本题是求半圆环面积.可先求圆环面积，再除以2即得
