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1、第6节圆锥曲线的综合问题 课时训练 练题感 提知能【选题明细表】知识点、方法题号圆锥曲线间的综合问题2、5、10、14直线与圆锥曲线的综合问题3、4、7、8、12、13、16圆与圆锥曲线的综合问题9、11、15圆锥曲线与其他内容的综合1、6A组一、选择题1.椭圆+=1(ab0)的左顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,D是它短轴上的一个端点,若3=+2,则该椭圆的离心率为(D)(A)(B)(C)(D)解析:设D(0,b),则=(-c,-b),=(-a,-b),=(c,-b),由3=+2得-3c=-a+2c,即a=5c,e=.故选D.2.(2012年高考福建卷)已知双曲线-=1的右焦点与抛物线y
2、2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(A)(A)(B)4 (C)3(D)5解析:抛物线y2=12x的焦点是(3,0),c=3,b2=c2-a2=5.双曲线的渐近线方程为y=x,焦点(3,0)到y=x的距离d=.故选A.3.(2013湛江市高考测试)设F1,F2是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,若直线x=ma(m1)上存在一点P,使F2PF1是底角为30的等腰三角形,则m的取值范围是(A)(A)1m2(C)1m解析:依题意得,F1F2P=120,焦点F2到直线x=ma的距离为ma-c,|PF2|=2c,2ccos 60=ma-c=c,即m=2e1,因此1mb0)的焦点与顶
3、点,若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为(D)(A)(B)(C)(D)解析:因为双曲线的渐近线与椭圆的交点构成正方形,所以双曲线的渐近线方程是y=x,该双曲线是等轴双曲线,设双曲线的实半轴、半焦距分别为a1,c1,椭圆的长半轴、半焦距分别为a2,c2,则c1=a1,a1=c2,c1=a2,所以椭圆的离心率e2=,故选D.6.(2013河北省衡水中学高三模拟)点P在双曲线-=1(a0,b0)上,F1、F2是双曲线的两个焦点,F1PF2=90,且F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是(D)(A)(B)(C)2(D)5解析:不妨设点P在双曲线的右支上
4、,F1为左焦点,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则r1-r2=2a,2r1=r2+2c,解得r1=2c-2a,r2=2c-4a,代入+=4c2可得c2+5a2-6ac=0,两边同除以a2得e2-6e+5=0,解得e=1或e=5.又e1,所以e=5.故选D.二、填空题7.(2013惠州三调)已知双曲线-=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为.解析:抛物线y2=4x的焦点为(,0),c2=a2+b2=10,e=,a=3,b=1,-y2=1.答案:-y2=18.(2013东莞模拟)已知抛物线C的方程为x2=y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直
5、线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是.解析:当t=0时,直线AB与抛物线C有公共点,当t0,则过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线方程为=,即4x-ty-t=0,由得2tx2-4x+t=0,=16-42t20,解得t.答案:(-,-)(,+)9.过双曲线C:-=1(a0,b0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线,切点分别为A、B.若AOB=120(O是坐标原点),则双曲线C的离心率为.解析:如图,由题知OAAF,OBBF且AOB=120,AOF=60.又OA=a,OF=c,=cos 60=,=2.答案:210.(2013安徽蚌埠二模)点A是抛物线C1:y2=2px(p0)与双
6、曲线C2:-=1(a0,b0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于.解析:设A(x0,y0),A在抛物线上,x0+=p,x0=,由=2px0得y0=p或y0=-p.双曲线渐近线的斜率=2.e=.答案:三、解答题11.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且椭圆经过圆C:x2+y2-4x+2y=0的圆心C.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切,求直线l的方程.解:(1)圆C方程可化为(x-2)2+(y+)2=6,圆心C(2,-),半径r=设椭圆的方程为+=1(ab0),则所求椭圆的方程是+=1.(2)由(1)得椭圆的左右焦
7、点分别是F1(-2,0),F2(2,0),|F2C|=b0),它的离心率为,一个焦点是(-1,0),过直线x=4上一点引椭圆的两条切线,切点分别是A、B.(1)求椭圆的方程;(2)若椭圆:+=1(ab0)在点(x0,y0)处的切线方程是:+=1.求证:直线AB恒过定点C,并求出定点C的坐标;(3)求证:+为定值 (点C为直线AB恒过的定点).解:(1)椭圆的焦点是(-1,0),故c=1,又=,所以a=2,b=,所以所求的椭圆方程为+=1.(2)设切点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),直线l上一点M的坐标(4,t),则切线AM、BM的方程分别为+=1,+=1.又两切线均过点M,所以x1+
8、y1=1,x2+y2=1,即点A,B的坐标都适合方程x+y=1,故直线AB的方程是x+y=1,显然直线x+y=1恒过点(1,0),故直线AB恒过定点C(1,0).(3)将直线AB的方程x=-y+1,代入椭圆方程,得3(-y+1)2+4y2-12=0,即(+4)y2-2ty-9=0,y1+y2=,y1y2=,不妨设y10,y20,b0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若T为线段FP的中点,则该双曲线的渐近线方程为(B)(A)xy=0(B)2xy=0(C)4xy=0(D)x2y=0解析:如图所示,设双曲线的另一个焦点为F,连结OT、PF.FT为圆的切线,
9、FTOT,且|OT|=a,又T、O分别为FP、FF的中点,OTPF且|OT|=|PF|,|PF|=2a,且PFPF.又|PF|-|PF|=2a,|PF|=4a.在RtPFF中,|PF|2+|PF|2=|FF|2,即16a2+4a2=4c2,=5.=-1=4,=2,即渐近线方程为y=2x,即2xy=0.故选B.16.(2013珠海市学业质检)如图,F1,F2是双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点,过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,若|AB|BF2|AF2|=345,则双曲线的离心率为.解析:设|AB|=3k,则|BF2|=4k,|AF2|=5k,所以F1BF2=90. 由双曲线定义得|BF1|-|BF2|=2a=|AF2|-|AF1|,即3k+|AF1|-4k=5k-|AF1|=2a,解得|AF1|=3k,k=a,所以|BF1|=6a,|BF2|=4a,由勾股定理可得(6a)2+(4a)2=(2c)2,化简得a=c,故离心率e=.答案:
