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1、2003高等数学竞赛试题及参考解筨一、选择题（40分）1.设，且，则（ C ）(A) 存在且等于零;(B) 存在但不一定等于零；(C) 不一定存在；(D) 一定不存在.2.设是连续函数，的原函数，则（ A ）(A) 当为奇函数时,必为偶函数；(B) 当为偶函数时,必为奇函数；(C) 当为周期函数时,必为周期函数；(D) 当为单调增函数时,必为单调增函数.3.设，在内恒有，记，则有（ B ）(A) ;(B) ;(C) ;(D) 不确定.4.设有连续导数，且，当时，是同阶无穷小，则（ B ）(A) 4；(B) 3；(C) 2；(D) 1.5.设，则在点（ D ）(A) 不连续；(B) 连续但偏导数
2、不存在；(C) 可微；(D) 连续且偏导数存在但不可微.6.设，则以向量、为边的平行四边形的对角线的长度为（ A ）(A) ；(B) 3, 11；(C) ；(D) .7.设是包含原点在内的两条同向闭曲线，的内部，若已知（k为常数），则有（ D ）(A) 等于k； (B) 等于； (C) 大于k；(D) 不一定等于k，与L2的形状有关.8.设在处收敛，则在处（ D ）(A) 绝对收敛；(B) 条件收敛；(C) 发散；(D) 收敛性与an有关.9.设A为矩阵，B为矩阵，若，则齐次线性方程组（ C ）(A) 无解；(B) 只有零解；(C) 有非零解；(D) 可能有解，也可能无解.10.设是空间个相异
3、的点，记，则共面的充分必要条件是（ D ）(A) 秩(A)=1;(B) 秩(A)=2;(C) 秩(A)=3; (D) 秩(A)=2或秩(A)=3.二、（8分）设，试确定、的值，使都存在.解：当时，故；当时，。三、（8分）设的一个原函数，且，求.解：，由知，四、（10分）设，S为的边界曲面外侧，计算解：（下侧），（上侧）， 五、（10分）已知向量组线性无关，向量都可用表出，即求证：线性相关的充分必要条件是矩阵的秩.解：（）设线性相关，则不全为0的使，即，线性无关，即是齐次线性方程组的非零解，故。（）设，则有非零解，即不全为0的使成立，从而，故线性相关。六、（10分）设n阶实对称矩阵的秩为r，且满
4、足（称A为幂等矩阵），求：（1）二次型的标准形；（2）行列式的值，其中E为单位矩阵.解：A为实对称阵，正交阵P，使，为A的特征值。（1）设是A的任一特征值，为对应特征向量，则，或，即实对称幂等矩阵的特征值只取0或1。由，知中有r个1，个0，适当排列P中列向量，可使，其中为r阶单位矩阵，故二次型的标准形为。（2）由得，故七、（10分）已知，.求证：（1）数列收敛；（2）的极限值a是方程的唯一正根.解一：（1），； 又收敛，收敛，收敛，又因，故收敛。（2）令，且，即a是的根，令，故根唯一。解二：由已知，由此可见， （用归纳法证明偶数项单调减少，奇数项单调增加）。设，。， 由知、收敛，令，；由，知，。对两边取极限得， 对两边取极限得， 由得，解得由知收敛，且为方程的根（再证唯一性）。八、（12分）设在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，求证： , 其中D为圆环域：解一：令，。由已知当时，故解二：令，令为（逆时针），为（顺时针） ，。九、（12分）如图所示，有一圆锥形的塔，底半径为R，高为，现沿塔身建一登上塔顶的楼梯，要求楼梯曲线在每一点的切线与过该点垂直于平面的直线的夹角为，楼梯入口在点, 试求楼梯曲线的方程.解：设曲线上任一点为，曲线参数方程为（*），在点的切向量为，垂线方向向量为。，化简得，由实际问题应，解得，由，得，故，将此式代入参数方程（*）即得楼梯曲线。
