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1、第5章 频率响应分析法在第三章中，介绍了控制系统的时域分析法。利用微分方程式求解系统时域响应，可以看出输出量随时间的变化，比较直观。但是用解析方法求解系统的时域响应比较麻烦，系统越复杂，微分方程的阶次越高，求解就越加困难。因此，发展了其它一些分析控制系统的方法，其中频率响应分析法就是研究控制系统的一种广为采用的工程方法。根据系统的频率特性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特性，可以简单迅速地判断某些环节或者参数对系统动态特性和稳态特性的影响，并能指明改进系统的方向。频率响应分析法具有以下特点：（1）频率特性物理意义明确，控制系统及其元部件的频率特性可以用分析法和实验方法来确定，并可用多种形式的曲
2、线表示，利于采用图解法进行系统分析与综合。（2）对于一阶系统和二阶系统，频域性能指标和时域性能指标有确定的对应关系；对于高阶系统，两者也存在近似对应关系。（3）应用频域稳定性判据，可以根据系统的开环频率特性研究闭环系统的稳定性，而不必求解系统的闭环特征方程式。（4）控制系统的频域设计可以兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求。（5）频率响应分析法不仅适用于线性定常系统，还可以推广应用于某些非线性系统。本章介绍频率特性的基本概念、典型环节和系统的频率特性、频率域稳定判据、系统的相对稳定性、系统的闭环频率特性和系统性能的频域分析方法。 5.1 频率特性的基本概念5.1.1 频率特性的定义首先我们用一个
3、简单的电路说明频率特性的基本概念。图5-1所示电路为一个RC网络，其微分方程为 （5-1）式中。网络的传递函数为 （5-2）若电路的输入为正弦电压，即图5-1 RC网络 则由式（5-2）可得 对上式进行拉普拉斯反变换，可得电容两端的输出电压为 上式中第一项是输出电压的瞬态分量，第二项是稳态分量。当时间时，第一项趋于零，所以上述网络的稳态响应可以表示为 （5-3）由式（5-3）可知，网络对正弦输入信号的稳态响应仍是一个同频率的正弦信号，但幅值和相角发生了变化，其变化取决于频率。若将输出的稳态响应与输入正弦信号用复数表示，并求它们的复数比，可以得到 （5-4）式中 ； 。完整地描述了网络在正弦输入
4、电压作用下，稳态输出时电压幅值和相角随正弦输入电压频率变化的规律，称为网络的频率特性。将频率特性表达式（5-4）和传递函数表达式（5-2）比较可知，这个网络的频率特性和传递函数的表达式形式是相同的。只要用代替传递函数中的，便可得到其频率特性，即下面讨论这个结论的一般性。对于输入为，输出为的线性定常系统，其传递函数的一般形式为 式中,为传递函数的极点。设输入正弦信号，其拉氏变换为系统输出的拉氏变换为 （5-5）式中，（）和、均为待定系数。对式（5-5）进行拉氏反变换，得到系统的输出量 （5-6）对于稳定系统，极点（）都具有负实部。因此，当时，的第一部分瞬态分量将衰减至零，系统输出的稳态响应为 （
5、5-7）式（5-7）中的系数为 （5-8） （5-9）式中是一个复数，将其用模和相角来表示，即 （5-10）其中 （5-11）同样可表示为 （5-12）将式（5-8）、（5-9）、（5-10）、（5-12）代入式（5-7），可得 = （5-13）式中输出信号稳态分量的振幅。根据式（5-13），频率特性可定义为：对于稳定的线性定常系统，在正弦信号的作用下，系统输出的稳态分量为输入同频率的正弦信号，其振幅与输入正弦信号的振幅之比称为幅频特性；其相位与输入正弦信号的相位之差称为相频特性。系统的频率响应与输入正弦信号的复数比称为系统的频率特性。以下式表示 （5-14） 幅频特性描述系统对于不同频率的输
6、入信号在稳态情况下的衰减（或放大）特性；相频特性描述系统的稳态输出对于不同频率的正弦输入信号的相位滞后（或超前）特性。从上述定义可以看出，频率特性与传递函数之间的关系为 （5-15）根据式（5-15），理论上可将频率特性的概念推广到不稳定系统，但是不稳定系统的瞬态分量不会消失，瞬态分量和稳态分量始终同时存在，所以不稳定系统的频率特性是观察不到的。频率特性和微分方程、传递函数一样也是描述系统的动态数学模型，它可以表征系统的动态和稳态特性，这就是频率响应分析法能够从频率特性出发研究系统的理论根据。线性系统的三种数学模型之间的关系如图5-2所示。图5-2 线性系统三种数学模型之间的关系5.1.2 频
7、率特性的几何表示在工程分析与设计中，通常将频率特性绘制成一些曲线，根据这些频率特性曲线对系统进行分析和研究。常用的几何表示方法有：幅相频率特性曲线、对数频率特性曲线、和对数幅相特性曲线。1 幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线简称幅相曲线，是以频率为参变量，将频率特性的幅频特性和相频特性同时表示在复数平面上。当从变化时，向量的端点在复数平面上的运动轨迹即为的幅相频率特性曲线。绘有幅相频率特性曲线的图称为极坐标图。频率特性除了式（5-14）所示的向量形式外，还可写成复数形式，即 （5-16）这里和分别称为系统的实频特性和虚频特性。幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间具有下列关系 （5-17）
8、（5-18） （5-19） （5-20）图5-3 惯性环节的幅相频率特性绘制幅相频率特性曲线有两种方法：第一种方法是对每一个值计算幅值和相角，然后将这些点连成光滑曲线；第二种方法是对每一个值计算和，然后逐点连接描绘成光滑曲线，就得到了频率特性的极坐标图。图5-3即为惯性环节的极坐标图，不难证明，惯性环节的极坐标图是一个半圆。图中实轴正方向为相角零度线，逆时针方向的角度为正角度，顺时针方向的角度为负角度。在幅相频率特性曲线上应标注出增大的方向。2对数频率特性曲线对数频率特性曲线包括对数幅频特性和对数相 频特性两条曲线，这两条曲线连同它们的坐标组成了对数坐标图或称伯德图。 设系统的频率特性为 定义
9、 为对数幅频特性 为对数相频特性对数频率特性曲线横坐标是频率，采用对数分度，单位是rad/s。对数幅频特性曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值，采用均匀分度，单位是dB。对数相频特性曲线的纵坐标表示相频特性的函数值，也采用均匀分度，单位是。因此，绘制伯德图时需要用半对数坐标纸。图5-4给出了伯德图的横坐标和的对应关系。频率每变化十倍，称为一个十倍频程，频率每变化一倍，称为一个倍频程。由图5-4可知，十倍频程在轴的间隔距离为一个单位长度，一个倍频程的间隔距离是个单位长度。图5-4 轴的对数分度采用伯德图的主要优点在于，利用对数运算可以将幅值的乘除运算化为加减运算，并且可以用简便的方法绘制近似的对数幅频特性曲线，从而使频率特性的绘制过程大为简化。因此，工程上常常使用伯德图来分析系统的性能。3对数幅相特性曲线对数幅相特性曲线又称为尼柯尔斯图线，对应的曲线图称为对数幅相图或尼柯尔斯图。它是将对数幅频特性和对数相频特性合起来绘制成一条曲线，其横坐标为，纵坐标为，频率为参变量。6
