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1、第二十一章一元二次方程1.了解一元二次方程及方程的解的概念.2.理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.3.会用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况.4.了解一元二次方程的根与系数之间的关系.5.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程,并利用一元二次方程模型解决简单的实际问题.1.通过一元二次方程概念的学习,培养学生对概念理解的完整性和深刻性.2.通过对一元二次方程解法的探究,培养学生数学推理的严密性及严谨性,同时培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识.3.通过列一元二次方程解应用题,进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力,提高学生分析问题、解决问题的能力
2、.1.在学习一元二次方程的过程中,让学生体验知识之间的联系,激发学生爱数学、学数学的兴趣.2.通过学习直接开平方法、因式分解法解一元二次方程,向学生渗透转化思想在研究数学问题中的应用;通过对求根公式的推导,向学生渗透分类思想.3.体会数学来源于生活,又应用到生活,由可设未知数列方程向学生渗透方程的思想,由此培养学生应用数学的意识.方程是初中数学中的基础内容,在初中数学中占有重要地位,一元二次方程是一元一次方程、二元一次方程(组)的后继学习,本章在初中代数中占着非常重要的地位,起着承前启后的作用,一方面对以前学过的一些内容进行综合地应用,如探究解方程的方法时开平方、一元一次方程、完全平方公式、因
3、式分解等知识都有应用,另一方面,一元二次方程又是前边所学知识的继续和发展,是学好二次函数不可缺少的知识,是学好高中数学的奠基工程.本章主要让学生进一步体会方程的模型思想,会解一元二次方程,解方程的基本思想是化归思想,将“二次”方程转化成两个“一次”方程是解一元二次方程的基本方法.其中配方法是初中数学中的基本方法,通过对配方法的学习,探究出一元二次方程的求根公式,然后让学生体会数学来源于生活,通过学习进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力及应用数学的意识.【重点】1.一元二次方程及其有关的概念.2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3.建立一元二次方程模型解
4、决实际问题.【难点】1.用配方法解一元二次方程.2.用公式法解一元二次方程.3.一元二次方程根的判别式.4.一元二次方程根与系数之间的关系.5.建立一元二次方程模型解决实际问题的.1.一元二次方程是初中数学最重要的数学模型之一,通过建立一元二次方程模型解决实际问题,可以使学生更深入地体会数学与现实世界的联系,所以可从实际问题抽象出一元二次方程的有关概念及其数学符号表示,让学生用类比思想理解并掌握一元二次方程的概念及其一般形式.2.学生已经具备了解一元二次方程的基本思想化归,即把方程转化为两个一元一次方程,教材由实际背景引入,建立一元二次方程模型,探究将二次降为一次的方法,转化为一元一次方程求解
5、.配方法是推导一元二次方程的求根公式的工具,引导学生用配方法导出求根公式,在推导求根公式的过程中,方程形式的不断推广,体现了数学中的从特殊到一般的过程.教材探究一元二次方程解法的过程,对于培养学生的推理能力和运算能力有很大帮助.3.一元二次方程根与系数之间的关系的学习,不仅为了一元二次方程理论的完整性,更重要的是初高中的衔接问题,根据求根公式,探究一元二次方程两根和与积分别与系数之间的关系,在教学活动中,可以让学生通过给出的几个一元二次方程的根,探索发现根与系数的关系,最后通过求根公式去验证总结,以此培养学生学习数学的严谨性和数学思维能力.4.数学来源于生活,并应用于生活中,数学与生活息息相关
6、,应用一元二次方程解决实际问题,引导学生分析其中的已知量、未知量及其等量关系,建立一元二次方程模型,得出方程的解,并检验所得的结果是否符合实际,得出合乎实际的结果,让学生经历“问题情境建立模型求解验证”的数学活动过程,培养学生的建模思想,逐步形成应用意识.21.1一元二次方程2课时21.2 解一元二次方程21.2.1配方法(2课时)21.2.2公式法(1课时)21.2.3因式分解法(1课时)21.2.4一元二次方程的根与系数之间的关系(1课时)5课时21.3 实际问题与一元二次方程2课时21.1一元二次方程1.理解一元二次方程的概念.2.掌握一元二次方程的一般形式,正确认识二次项系数、一次项系
7、数及常数项.3.体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型.4.理解一元二次方程解的概念.1.通过一元二次方程的引入,培养学生建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力.2.体会数学来源于生活,又回归生活的理念.3.由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想,从而进一步培养学生的数学思维能力.1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.2.激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养应用数学的意识.3.体会数学知识与现实世界的联系.【重点】1.一元二次方程的概念及一般形式.2.一元二次方程的解(根).【难点】1.正确识别一般式中的“项”及“系数”.2.由实际问题列出一元二次方程.第课时1.
8、理解一元二次方程的概念.2.掌握一元二次方程的一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.1.通过一元二次方程的引入,培养学生的建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力.2.体会数学来源于生活,又回归生活的理念.1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.2.激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养应用数学的意识.【重点】一元二次方程的概念及其一般形式.【难点】1.由具体问题抽象出一元二次方程.2.正确识别一般式中的“项”及“系数”.【教师准备】多媒体课件13. 【学生准备】复习一元一次方程和二元一次方程的定义.导入一:请同学们阅读章前问题,并回答问题.要设计一座2 m高的人
9、体雕塑,使雕塑的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部(全身)的高度比,雕塑的下部应设计为多高?如图所示,雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下等量关系:ACBC=BC2,即BC2=2AC.设雕塑下部高x m,可得方程x2=2(2-x),整理得x2+2x-4=0.【问题】这个方程是不是我们以前学过的方程?设计意图帮助学生初步感知上述方程与以往学过的方程形式的不同,通过学生的好奇心激发本节课的学习欲望.导入二:观察下列方程:(1)3x-5=0;(2)2x2+3x-2=0;(3)12x+3y52=0;(4)12x2+(x+1)(x-1)=0.哪些是我们学过的一元一次方程?其他方程
10、与一元一次方程有什么不同?【师生活动】复习方程、一元一次方程的概念、二元一次方程的概念.【学生活动】小组合作交流:观察新方程,分析元和次,尝试为新方程定义.设计意图让学生体会一元二次方程是刻画某些实际问题的模型,通过复习一元一次方程和二元一次方程的概念,让学生用类比的方法从已有的知识体系自然地构建出新知识.导入三:数字中有许多有趣而奇妙的现象,很多秘密等待着我们去探索发现!现在,我们先来做一个数字游戏:大家先计算出10,11,12三个数字的平方和,再计算出13和14的平方和,看看两个平方和相等吗?你还能找到五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?试试看!如果设中间的一个数为x,
11、请根据这一问题列出方程.设计意图本问题可以使学生体会到数学中的奥秘,激发学生探究新知的欲望.学生通过设未知数,寻找等量关系,初步认识一元二次方程.过渡语数学来源于生活,生活中处处有数学.我们一起探究下面的方程是怎样的方程,看看是不是一元一次方程,或者是不是二元一次方程.一、一元二次方程的定义给出课本问题1、问题2的两个实际问题,设未知数,建立方程.问题1【课件1】如图所示,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?教师引导学生思考并
12、回答:如果设切去的正方形的边长为x cm,那么盒底的长是,宽是,根据方盒的底面积为3600 cm2,得.整理,得.化简,得.解:设切去的正方形的边长为x cm,那么盒底的长是(100-2x)cm,宽是(50-2x)cm.根据题意,得(100-2x)(50-2x)=3600.整理,得4x2-300x+1400=0.化简,得x2-75x+350=0.问题2【课件2】要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?思路一教师引导学生思考并回答:全部比赛共有场.若设应邀请x个队参赛,则每个队要与其他个队各赛一
13、场,全部比赛共有 场.由此,我们可以列出方程,化简得.【师生活动】设未知数、 根据题意列出方程,老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型,并整理. 解:设应邀请x个队参赛,则每个队要与其他(x-1)个队各赛一场,全部比赛共有12x(x-1)场.根据题意,得12x(x-1)=47.整理,得12x2-12x=28.化简,得x2-x=56.思路二小组活动,共同探究,思考下列问题.(1)分析题意,题中的已知条件是什么?(2)分析题意,题中的等量关系是什么?(3)如何设未知数?根据题中等量关系怎样列方程?【师生活动】教师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生讨论后小组展示讨论结果,教师及时补充. 解:设
14、应邀请x个队参赛,则每个队要与其他(x-1)个队各赛一场,全部比赛共有12x(x-1)场.根据题意,得12x(x-1)=47.整理,得12x2-12x=28.化简,得x2-x=56.设计意图通过师生共同探讨,找到实际问题中的等量关系,列出方程,为引出一元二次方程的概念做铺垫,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.(教师板书导入一和课本问题所列的三个方程)请口答下面问题.(1)上面三个方程整理后含有几个未知数?(2)按照整式中的多项式的规定,它们最高次数是几?(3)方程两边都是整式吗?【学生活动】小组合作交流,类比一元一次方程定义,尝试给出一元二次方程的定义.老师点评:(1)都只含一个未
15、知数x;(2)它们的最高次数都是2;(3)方程两边都是整式.像这样的方程,等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.设计意图通过小组活动,学生通过类比一元一次方程的定义得到一元二次方程的定义,从而达到真正理解定义的目的,同时培养学生归纳总结能力.过渡语我们了解了一元二次方程的概念,现在同学们比一比谁理解得更透彻吧.【课件3】请抢答下列各式是否为一元二次方程.(1)4x2=81;(2)2(x2-1)=3y.【师生活动】以抢答的形式来完成此题,并让学生找出错误理由.教师应注意对学生给出的答案进行点评和归纳.设计意图进一步强化一元二次方程的概念满足的三个条件,采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性.知识拓展判断一个方
