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1、第17章 勾股定理复习一知识归纳勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，斜边为，那么.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形.勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，则，知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题5、利用勾股定理作长为的线段 作长为、的线段。 思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。 作法：
2、如图所示 （1）作直角边为1（单位长）的等腰直角ACB，使AB为斜边； （2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为； （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、的长度就是 、。 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。6.勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理的证明方法如果三角形三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2a2+b2，则ABC是以C为直角的直角三角形（若c2a2+b2，则ABC是以C为钝角的钝角三角形；
3、若c2a2+b2，则ABC为锐角三角形）。3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。7.勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称，为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；等用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；（为正整数）（，为正整数）8勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及
4、其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常见图形：题型一：直接考查勾股定理例.在中，已知，求的长已知，求的长题型二：应用勾股定理建立方程例.在中，于，已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为.如图中，求的长例4.如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了题型四
5、：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为，判定是否为，例7.三边长为，满足，的三角形是什么形状？题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知中，边上的中线，求证：典例题透析类型一：勾股定理的直接用法 1、在RtABC中，C=90 (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 举一反三 【变式】:如图B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，. 求：BC的长. 举一反三【变式1】如图，已知：，于P. 求证
6、：. 【变式2】已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 类型三：勾股定理的实际应用 （一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。 举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 类型四：利用勾股定理作长为的线段 5、作长为、的线段。 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。7、
7、如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。【变式2】已知:ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),判断ABC是否为直角三角形.【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。 请问FE与DE是否垂直?请说明。类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、 若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。【变式3】若直角三角形的三边长分别
8、是n+1，n+2，n+3，求n。【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40【变式5】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。 类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决 如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5求线段EF的长。 （二）方程的思想方法如图所示，已知ABC中，C=90，A=60，求、的值。 举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长 即EF的长为5cm。
