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1、第三章 不等式第一教时教材：不等式、不等式的综合性质目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质I n。过程：一、引入新课1 .世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。2 .过去我们已经接触过许多不等式从而提出课题二、几个与不等式有关的名称(例略)1 .“同向不等式与异向不等式”2 .“绝对不等式与矛盾不等式”三、不等式的一个等价关系(充要条件)1 .从实数与数轴上的点对应谈起a b = a-b 0 a=b= a-b=0a ：b= a-b：02 .应用：例一 比较(a+3)(a -5)与(a+2)(a -4)的大小解：(取差)(a +3)(a -5) - (a +
2、2)(a-4)2_2_=(a -2a -15) -(a -2a -8) -7 0. (a 3)(a -5) 0 从而(x2 +1)2 x4 + x2+1小结：步骤：作差一变形一判断一结论例三比较大小1 .和V10、3 - 2解：= L 1 L = J3 + 2 3 - .2.(.3,2)2 -(, 10)2 =2、.6 一5 = . 24 一 . 25 ： 0；当 b = a 时一=；当 be a 时一0且a#1, t 0比较一 loga t与loga的大小22解:_01 t 11t 1当 a 1 时一loga t W log a ；当 0 a loga 2 222四、不等式的性质1 .性质1
3、 ：如果a b ,那么b a ；如果b b (对称性) 证：:a b a-b 0由正数的相反数是负数-(a -b)：二 0b - a b, b c 那么a Ac (传递性)证：a b , b c.a-bA0, b -c 0v两个正数的和仍是正数(a-b) + (b-c)0a -c 0a c由对称性、性质2可以表示为如果cb且ba那么c 202,比较2sine与sin26的大小(0日02sin6 sin20当日w(n,2兀)时 2sin日(1cos6)02sin60 且 a=1 比较 log a (a3 +1)与 loga(a2 +1)的大小解：(a3 1) -(a2 1) = a2(a -1)
4、当 0 a 1 时 a3 十1 log a (a2 +1)当 a 1 时 a3 +1 a2 +1； log a(a3 +1) loga (a2 +1)3.2,总有 loga(a 1) log a (a1)第二教时教材：不等式基本性质(续完)目的：继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论证，从而让学生清 楚事物内部是具有固有规律的。过程：一、复习：不等式的基本概念，充要条件，基本性质1、2二、1.性质3:如果a b,那么a+ob + c (加法单调性)反之亦然证：.(a+c)-(b+c) = a-b 0a+cAb+c从而可得移项法则：a b c= a b (-b) c (-b) = a
5、c -b推论：如果a b Hod ,那么a+cb + d(相加法则)、/ a b= a +c Ab +c,证：，3 a+cb + dc d = b c b d推论：如果a b且c b证：: c -d=a-ob-d、c -d或证：(a - c) - (b - d) = (a - b) - (c - d)a b 0c - d ： 0二上式02 .性质4：如果a b且c0,那么acbc；如果a b且c 0那么ac ba - b 0根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：c A0 时（a b）c 0 即：aobcc 0 时（a -b）c 0 即：ac b 0且c a d a0 ,那么acbd （相乘法则）
6、a b,c 0= ac bc ac bdc d,b 0- bc bd推论1（补充）如果ab0H0cb0,那么anAbn （nN且n1）3 .性质 5:如果 a Ab 0 ,那么 n;a Vb（n- N且n1）证：（反证法）假设n/a V b则：若ya（发二ab矛盾n/an.b n-. a = n b = a = b三、小结：五个性质及其推论口答P8 练习1、2 习题6.14四、作业 P8 练习3 习题6.15、6五、供选用的例题（或作业）1 .已知 ab0, cd0, eb 0口 ac0 =c ： d :二 0.一一，、11 一 2 .右a,bR,求不等式a Aba -同时成立的条件 a b1
7、1 b -a解：a b aba b= b-a0 = ab :二 0：二03.设 a, b,c w R ,a b c = 0, abc : 0.、一 111求证一一 一 0abc证：a b c = 0222a2b2c22ab 2ac 2bc=0又abc = 0-， a2 b2 c2 0二 ab ac bc : 0ab bc caabcabc ： 0二 ab ac bc 二 04.ab - 0, | a | | b |,1,1比较-与-的大小a b解:aba A0,b0 时|a|b| 即 abab 0ab:二 011. 一|b| 即 a一a b5.若 a,b 0求证:解：b -1a- a0ab a
8、= b a 0a 0=-1 0a6.若a b 0,cd 0 求证:10g sin :a -c证：0 sina 1logsinaK b 0,-c d 0a-ob-d1 1一，.,VOb （当且仅当a = b时取=”）2证明：:(石)2 +(b)2 2 27ab.a+b2V0b即：$，Gb当且仅当a = b时亘2=正22注意：1 .这个定理适用的范围：aWR +2.语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数。三、推广：定理：如果 a,b,cw R; 那么 a3 +b3 +c3 3abc（当且仅当a = b = c时取“二”）证明：a3 b3 c3 -3abc = （a b）3 c3 -
9、3a2b -3ab2 -3abc22-=(a b c) a b) -(a - b)c c -3ab(a b c)222=(a b c)a 2ab b -ac-bc c _3ab2,22二(a b c)(a b c - ab - bc - ca)= 1(a +b +c) a -b)2 +(b -c)2 +(c -a)2 2,a,b,cWR*.上式 0从而 a3 + b3+c3 2 3a b c指出：这里a,b,cwR+ -a + b + c1且n w N * 贝（J：a a aa21叫做这n个正数的算术平均数nn/a1a2,- an叫做这n个正数的几何平均数2 .点题：算术平均数与几何平均数3
10、.基本不等式:一 _ _ * 一 -4 . A _ An N , ai R ,1s s n这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略） 语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。a b4 . b之疝的几何解释:2ABCbD以a+b为直径作圆，在直径AB上取一点C ,过 C 作弦 DD _LAB则 CD 2 = CA CB = ab从而CD = , ab而半径aJb C cd =ab2五、例一 已知a,b,c为两两不相等的实数，求证： a2 + b2 + c2 ab + bc + ca证：a2 b2 2ab b2 = c2 2bcc2 a2 2ca以上三式相加：2(a2 - b2 - c2) . 2ab - 2bc 2ca 2 22 a b c ab bc ca六、小结：算术平均数、几何平均数的概念基本不等式(即平均不等式)七、作业：P11-12 练习1、2P12 习题5.2
