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1、垂径定理（第一课时）教 材 九年级数学上册（人民教育出版社普通初中课程标准实验教科书）教学内容二十四章第一节24.1.2垂直于弦的直径。【教学目标】1知识目标：通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； 掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； 掌握辅助线的作法过圆心作一条与弦垂直的线段。2能力目标：通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； 向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。3情感目标：结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透； 激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。【教学重点、难点】重点: 垂径定理及其应用。难点: 垂径定
2、理的证明。【授课类型】 新授课教学过程一、创设情境，引出课题 1实例：同学们都学过中国石拱桥这篇课文（初二语文第三册第一课茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。2导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少？通过本节课的学习，我们将
3、能很容易解决这一问题。 （图1）设计意图 使生活问题数学化，数学问题生活化，激发学生的探究欲望。二、尝试诱导，发现定理 1复习过渡： 如图2(a)，弦AB将O分成几部分？各部分的名称是什么？ 如图2(b)，将弦AB变成直径，O被分成的两部分各叫什么？E 在图2(b)中，若将O沿直径AB对折，两部分是否重合？ (a) (b) (a) (b) (c) （图2） （图3）2实验验证：让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。设计意图 使学生在解决问题的过程中
4、，不断探究新知识，为探究垂径定理做铺垫。3运动变换：如图3(a)，AB、CD是O的两条直径，图中有哪些相等的线段和相等的弧？如图3(b)，当ABCD时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧？如图3(c)，当AB向下平移，变成非直径的弦时，图中还有哪些相等的线段和相等的弧？此外，还有其他的相等关系吗？4提出猜想：根据以上的研究和图3(c)，我们可以大胆提出这样的猜想 （板书） 5验证猜想：教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径CD对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为垂直于弦的直径。设计意图 使学生充分参与探索，感受数学学习的过程，注重知识的生成过程，突破难点，体会数形结合
5、的思想。三、引导探究，证明定理1引导证明：猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。证明“AE=BE”，可通过连结OA、OB来实现，利用等腰三角形性质证明。 证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。2归纳定理：根据上面的证明，请学生自己用文字语言进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。3巩固定理：在下列图形（如图4(a)(d)）中，AB是O的弦，CD是O的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。(a)ABCD于E (b)E是AB中点 (c)OCAB于E (d
6、)OEAB于E（图4） 向学生强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。四、例题示范，变式练习例1如图5，在O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径。 分析：因为已知“圆心O到AB的距离为3cm”，所以要作辅助线OEAB；因为要求半径，所以还要连结OA。 解：（略）学生口述，教师板书。 （图5）变式一在图5中，若O的半径为10cm，OE=6cm，则AB= 。思考一：若圆的半径为R，一条弦长为a，圆心到弦的距离为d， 则R、a、d三者之间的关系式是 。变式二如图6，在O中，半径OCAB，垂足为E， 若CE=2cm，AB=8cm，则O的半径= 。 （图6
7、）思考二：你能解决本课一开始提出的问题吗？（由学生口述方法）设计意图 旨在帮助学生熟悉和运用垂径定理， 解题方法总结：1、见半弦、半径、弦心距三者构造直角 三角形来解决; 2、常用辅助线：过圆心做弦的垂线。例2：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 设计意图 这样很好的做到了前后呼应，充分体现了学以致用，也就是解决已知弦长和拱高,如何求半径的问题加以规范步骤，使学生凌乱的思维得以梳理，完成本节课的教学。变式练习：（学生演板） 变式 1 在O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，求O 的半径。
8、变式2 AB为O的弦，O的半径为5，OCAB于点D，交O于点C，CD=1， 求弦AB的长 变式3 O的半径为5，弦AB的长为6，则AB的弦心 距长为 .设计意图 通过定理的变式，使学生能灵活运用垂径定理解决圆的有关计算问题。五、师生小结，纳入系统知识层面：圆的对称性：圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在直线 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。应用层面：垂径定理和勾股定理有机结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线。重要思路：（由）垂径定理构造Rt（结合）勾股定理建立方程思想层面：数形结合、方程、转化、类比等数学思想在实际
9、操作中的应用。构造Rt的“七字口诀”：半径半弦弦心距圆的对称美、民族自豪感和振兴中华的使命感六、达标检测，反馈效果必做题：1、如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米， 求拱桥的半径。2、如图， 圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示AB=8m，CAD=30，求大棚高度CD。3、如图，在O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，且AB=8cm，AC=6cm，那 么O的半径OA长为_.选做题： 如图所示，O中，弦CD交直径AB于点P，AB=12cm，PA：PB=1：5，且BPD=30，求CD的长。七.课后作业必做题：课本习题1，2.选做题：任意交换垂径定理的一条条件和一条结论，能得到哪些结论。八板书设计垂径定理PPT展示圆的轴对称性质例1垂径定理定理几何语言例25
