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1、长沙理工大学自控控制原理精品课程 第五章习题解答5-1 试求图5-1（b）网络的频率特性。图5-1 积分网络（b）解：由积分网络图5-1（b）可得方程两边在零初始状态下同时进行拉普拉斯变换，得整理可得该网络的频率特性为：5-3 该系统结构图如图5-2所示，试根据频率特性的物理意义，求在下列信号作用下，系统的稳态输出和稳态误差。其中，图5-2 反馈控制系统结构图解：有系统的结构图可得，系统的闭环传递函数和误差传递函数：，则相应的频率特性为：由频率特性的定义可知：当时5-10 概略绘制下列传递函数的幅相曲线。1. 解：（1）系统的频率特性为：a） 开环幅相曲线的起点:b）开环幅相曲线的终点:c）与
2、实轴的交点：令，解得：， （2）开环幅相曲线如下图所示：图5-10（a）2. 解：（1）系统的频率特性为：b） 开环幅相曲线的起点:b）开环幅相曲线的终点:c）与实轴和虚轴均无交点。 （2）开环幅相曲线如下图所示：图5-10（b）5-13 试绘制下列传递函数对数幅频渐近特性曲线。（3），（4）解：（3） 确定各交接频率，及斜率变化值。最小相位惯性环节：，斜率减少；最小相位一阶微分环节：，斜率增大；最小相位振荡环节：，斜率减少。最小交接频率：。 绘制低频段渐进特性曲线。因为，则低频段渐近线斜率，并且通过点。 绘制频段渐近特性曲线。，系统开环对数幅频渐近特性曲线如下图所示：（4） 确定各交接频率，
3、及斜率变化值。最小相位惯性环节：，斜率减少；最小相位一阶微分环节：，斜率增大；最小交接频率：。 绘制低频段渐进特性曲线。因为，则低频段渐近线斜率，并且通过点。 绘制频段渐近特性曲线。，系统开环对数幅频渐近特性曲线如下图所示：5-19 试由图5-33所示的对数幅频渐近特性确定各最小相位系统的传递函数。图5-33 最小相位系统的对数幅频渐近特性曲线解：本题分别求解如下：（1）图5-33（a）系统 确定系统积分环节或微分环节的个数，因为对数幅频渐近特性曲线的低频渐近线斜率为，故有。 确定系统传递函数结构形式。处，斜率变化，对应惯性环节；处，斜率变化，对应惯性环节。因此，系统应具有下述传递函数。 由给
4、定条件确定传递函数参数。由于低频渐近线经过点，故解得：，于是，系统的传递函数为：（2）图5-33（b）系统 确定系统积分环节或微分环节的个数，因为对数幅频渐近特性曲线的低频渐近线斜率为，故有。 确定系统传递函数结构形式。处，斜率变化，对应一阶微分环节；处，斜率变化，对应惯性环节。因此，系统应具有下述传递函数。 由给定条件确定传递函数参数。由图（b）可得，解得，再由，即，于是系统的传递函数为：（3）图5-33（c）系统 确定系统积分环节或微分环节的个数，因为对数幅频渐近特性曲线的低频渐近线斜率为，故有一个微分环节。 确定系统传递函数结构形式。处，斜率变化，对应惯性环节；处，斜率变化，对应惯性环节
5、。因此，系统应具有下述传递函数。 由给定条件确定传递函数参数。由，有，解得：于是系统的传递函数为：（4）图5-33（d）系统 确定系统积分环节或微分环节的个数，因为对数幅频渐近特性曲线的低频渐近线斜率为，故有。 确定系统传递函数结构形式。处，斜率变化，对应惯性环节；处，斜率变化，对应一阶微分环节，处，斜率变化，对应惯性环节。因此，系统应具有下述传递函数。 由给定条件确定传递函数参数。由，有，解得；再由，解得；再由，解得；再由，解得；5-21 设最小相位系统的对数幅频渐近特性如图5-38所示，试确定系统传递函数。图5-38 最小相位系统的对数幅频渐近特性解：（1）图5-38（a）系统 确定系统积
6、分环节或微分环节的个数，因为对数幅频渐近特性曲线的低频渐近线斜率为，故有。 确定系统传递函数结构形式。处，斜率变化，对应一阶微分环节，处，斜率变化，对应振荡环节。因此，系统应具有下述传递函数。 由给定条件确定传递函数参数。由，有，解得；再由在处，谐振峰值为，则，即于是，系统的传递函数为：（2）图5-38（b）系统 确定系统积分环节或微分环节的个数，因为对数幅频渐近特性曲线的低频渐近线斜率为，故有。 确定系统传递函数结构形式。处，斜率变化，对应惯性环节，处，斜率变化，对应二阶微分环节。处，斜率变化，对应惯性环节。因此，系统应具有下述传递函数。 由给定条件确定传递函数参数。由，有，解得；再由在处，
7、修正，则，即于是，系统的传递函数为：（3）图5-38（c）系统 确定系统积分环节或微分环节的个数，因为对数幅频渐近特性曲线的低频渐近线斜率为，故有。 确定系统传递函数结构形式。处，斜率变化，对应二阶微分环节，处，斜率变化，对应振荡环节。处，斜率变化，对应惯性环节。因此，系统应具有下述传递函数。 由给定条件确定传递函数参数。由，解得；再由，即；再由在处，谐振峰值为，则，即由，即；再由在处，修正，则：，即于是，系统的传递函数为：5-22 已知单位反馈控制系统开环传递函数如下：其对应的幅相曲线如图5-42所示，试用奈奎斯特判据判别闭环系统的稳定性（，皆大于零）。图5-42 系统开环幅相曲线（1）图5
8、-42（a）（2）图5-42（b）（3）图5-42（c）（4）图5-42（d）（5）图5-42（e）解：（1）在右半平面的极点数，由奈奎斯特曲线知，故：应用奈奎斯特判据，算得右半平面的极点数为：所以闭环系统不稳定，有两个正实部闭环极点。（2）在右半平面的极点数，由奈奎斯特曲线知，故：应用奈奎斯特判据，算得右半平面的极点数为：所以闭环系统不稳定，有两个正实部闭环极点。（3）因为，从奈奎斯特曲线上的对应点起逆时针补作且半径为无穷大的虚圆弧。在右半平面的极点数，由奈奎斯特曲线知，故：应用奈奎斯特判据，算得右半平面的极点数为：所以闭环系统不稳定，有两个正实部闭环极点。（4）在右半平面的极点数，由奈奎斯
9、特曲线知，故：应用奈奎斯特判据，算得右半平面的极点数为：所以闭环系统稳定。（5）在右半平面的极点数，由奈奎斯特曲线知，故：应用奈奎斯特判据，算得右半平面的极点数为：所以闭环系统稳定。5-23 设题5-10传递函数为系统的传递函数，试用奈奎斯特判据确定使系统闭环稳定时开环增益的范围。解：1. 由系统的传递函数可知；再由可知，若使系统闭环稳定，则应有，即。其幅相曲线如图5-10（a）所示，若使，则 即 2. 由系统的传递函数可知；其幅相曲线如图5-10(b)所示，可知，；则再由，可得。故无论取何值，闭环系统都不稳定。5-32 已知系统的开环传递函数为：试绘制系统的开环幅相曲线，并由开环幅相曲线判断
10、闭环系统的稳定性。解：（1）开环系统的频率特性为：开环幅相曲线的起点：；终点：。开环幅相曲线在第象限内变化，且与实轴和虚轴都无交点，如图5-54所示。图5-54 系统的开环幅相曲线因为，从奈奎斯特曲线上的对应点起逆时针补作且半径为无穷大的虚圆弧。在右半平面的极点数，由奈奎斯特曲线可知，开环幅相曲线包围点，故应用奈奎斯特判据，算得右半平面的闭环极点数为所以闭环系统不稳定，有两个正实部闭环极点。5-41 已知单位反馈系统的开环传递函数若要求将截止频率提高倍，相角裕度保持不变，问,应如何变化？解：系统的开环频率特性为由截止频率和相角裕度的定义，可知故若要求将截止频率提高倍，相角裕度保持不变，则将减小
11、倍，将增大倍。5-47 设单位反馈系统如图5-98所示，其中，；时，截止频率。若要求不变，问于如何变化才能使系统的相角裕度提高？图5-98 单位反馈系统结构图解：系统的开环传递函数为则开环频率特性为由，和，得解得 若要求不变，使系统的相角裕度提高，则解得：再由将和及代入，解得 5-48 设两个系统的开环传递函数分别为（1） （2）试讨论参数的变化对相角裕度的影响。解：（1）系统的开环频率特性为：由截止频率的定义可知即 解得而由相角裕度的定义可知所以，是的减函数，即增大会降低系统的相角裕度。（2）系统的开环频率特性为由截止频率的定义可知即解得 而由相角裕度的定义可知所以，是的增函数，即增大会提高
12、系统的相角裕度。5-57 设单位反馈系统开环传递函数为依据下述两种曲线判断闭环系统的稳定性：（1）概略幅相曲线；（2）对数频率特性曲线。解 系统的频率特性为开环幅相曲线的起点：；终点：。幅相曲线与虚轴的交点：令，解得，其中为与虚轴交点处的频率。开环幅相曲线在第和第象限间变化，如图5-111所示。因为，在幅相曲线上的对应点起逆时针补作且半径为无穷大的虚圆弧。由于在右半平面的极点数，由奈奎斯特曲线知，故应用奈奎斯特判据，算的右半平面的闭环极点数为：所以，系统闭环不稳定，有两个正实部的闭环极点。5-58 设反馈系统如图5-113（a）所示，其中，都是最小相位传递函数。若已知开环系统的对数幅频渐近特性
13、曲线如图5-113（b）所示，试确定的传递函数。图5-113（a） 反馈系统结构图图5-113（b） 对数幅频渐近特性解：在图5-113（b）中，由开环系统的对数幅频特性曲线可知，开环传递函数应具有如下形式：由开环系统对数幅频渐近特性曲线的几何特性，可得以下等式：，解得：，故开环系统的传递函数为：由图5-113（b）中的对数幅频渐近特性曲线可知，应具有如下形式：由开环系统对数幅频渐近特性曲线的几何特性，可得以下等式：，解得：，故：则：5-61 已知某最小相位系统开环对数幅频渐进特性曲线如图5-120 所示，试确定系统开环传递函数。图5-120 系统开环对数幅频渐近特性曲线解 由图5-120系统开环对数幅频渐进特性曲线可知，开环传递函数应具有以下形式：由系统开环对数幅频渐进特性曲线的几何特性，可得以下等式：解得 ，故开环系统的传递函数为： 3
