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1、曲线积分与曲面积分主要内容一、 定义1、 第一型曲线积分 设在可求长曲线有定义，若当时，在曲线的积分和存在极限，即，则称是在曲线的第一型曲线积分，表为2、第二型曲线积分 设在可求长曲线有定义，若当时，在曲线关于（或）的积分和（或）存在极限（或），即（或），则称（或）是（或）在曲线的第二型曲线积分，表为（或）3、第一型曲面积分 设函数在光滑或者逐片光滑的曲面块S有定义.若当时，函数在曲面S的积分和存在极限L，即，则称L是函数在曲面S的第一型曲面积分，表为.4、第二型曲面积分 设函数在光滑或者逐片光滑的曲面块S有定义.若当时，函数在曲面S关于xy的积分和存在极限，即则称是函数在曲面S的第二型曲面积
2、分，表为.类似地二、计算方法1、第一型曲线积分 若曲线：是光滑的，即在连续，且不同时为0，在连续，则在存在第一型曲线积分，且.特别是，曲线是由方程给出，且在连续时.若光滑曲线的参数方程是，则.2、 第二型曲线积分 若在可求长曲线：连续，且，则与在曲线的第二型曲线积分都存在，且 3、第一型曲线积 若曲面块，是光滑或逐片光滑的，其中D是有界闭区域.函数在曲面S连续，则函数在S第一型曲线积分存在，且其中特别是，若，则4、 第二型曲面积分 若有光滑曲面，其中是有界闭区域，在连续，则在曲面的第二型曲面积分存在，且其中符号由曲面的正侧外法线与轴正向的夹角余弦的符号决定.5、格林公式 设闭区域由分段光滑的曲
3、线围成,函数在上具有一阶连续偏导数, 则有其中是的取正向的边界曲线.6、 奥高公式 设空间闭区域由分片光滑的闭曲面围成,函数、在上具有一阶连续偏导数, 则有公式 7、斯托克斯公式 设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与的侧符合右手规则, 函数、在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式三、第一、二型积分的关系1、曲线积分的关系 设空间有向曲线上任一点的切向正向与轴正向的交角分别是，则.3、 曲面积分关系 设空间曲面上任一点A处法线正向与轴、轴、轴正向的交角分别为，则.四、曲线积分与路线无关若二元函数以及在单连通区域连续，下列四个断语是等价的：1） 曲线积分与路径C无关2） 在内存在一个函数，使3） ，有4） 对内的任意光滑或逐段光滑闭曲线，有.五、求原函数若在单连通区域内函数是的原函数，而与是内任意两点，则.
