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1、第二章随机过程的基本概念和基本类型教学目的：（1）掌握随机过程的定义；（2）了解有限维分布族和 Kolmogorov 定理；（3）掌握独立增量过程和独立平稳增量过程概念。教学重点：（1）有限维分布和 Kolmogorov 定理；（2）随机过程的基本类型。教学难点：（1）有限维分布和 Kolmogorov 定理。2.1基本概念教学目的： 掌握随机过程的定义；了解随机过程的按状态集和参数的分类。教学重点： 随机过程的定义。在概率论中，我们研究了随机变量，n 维随机向量。在极限定理中，我们研究了无穷多个随机变量，但局限在它们相互独立的情形。将上述情形加以推广，即研究一族无穷多个、相互有关的随机变量，
2、这就是随机过程。定义 2.1 ：设 ( , , P) 是一概率空间，对每一个参数 t T , X (t ,) 是一定义在概率空间 (, , P) 上的随机变量，则称随机变量族 X T X (t ,); tT , 为该概率空间上的一随机过程。 T 称为参数集。随机过程的两种描述方法：用映射表示XT ， X (t,) : TR，即 X(, )是一定义在 T上的二元单值函数， 固定 tT , X (t, ) 是一定义在样本空间上的函数，即为一随机变量； 对于固定的 0， X (t, 0 ) 是一个关于参数 tT 的函数，通常称为样本函数， 或称随机过程的一次实现。 记号 X (t,) 有时记为 Xt
3、 ( ) 或简记为 X (t).参数 T 一般表示时间或空间。参数常用的一般有：(1)TN0 0,1,2, 此时称之为随机序列或 时间 序列随机序列写为，. X (n)n0或 X n , n0,1,.(2)T 0,1,2, (3)T a, b 其中 a可以取 0或, b可以取.当参数取可列集时，一般称随机过程为随机序列。随机过程 X (t); tT 可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间，记作S. S 中的元素称为状态。状态空间可以由复数、实数或更一般的抽象空间构成。根据 T和 S的不同过程可以分成不同的类：参数空间分类：离散参数如 T0,1,2 连续参数如T t | t0离散状态
4、取值是离散的状态空间分类：S连续状态取值是连续的S随机过程分为以下四类：(1)离散参数离散型随机过程；(2)(2)连续参数离散型随机过程；(3)(3)连续参数连续型随机过程；(4)(4)离散参数连续型随机过程。(5)以随机过程的统计特征或概率特征的分类，一般有：(6)独立增量过程；二阶矩过程；平稳过程；Poission过程；更新过程；Markov 过程；鞅；维纳过程。随机过程举例例 2.1 随机游动：一醉汉在路上行走，以概率 p前进一步，以概率 1p后退一步（假设其步长相同）,以 X (t )记 他在 t时刻在路上的位置，则X (t )就是直线上的随机游动 .例 2.2抛掷一枚硬币，样本空间为
5、S H ,T 定义：cos t ,当出现 H时t (,)X (t)当出现T时2t ，其中 PHPT 1/ 2, 则 X (t ) , t (,) 是一 随机过程。例 2.3 Brown 运动：英国植物学家 Brown 注意到 漂浮在液面上的微小粒子不断进行无规则的运动，这种运动后来称为 Brown 运 动。同时分子大量随机碰撞的结果。记( X (t),Y (t)为粒子在平面坐标上的 位置， 则它是平面上的Brown 运动。2.2 有限维分布与Kolmogvrov 定理教学目的：掌握随机过程有限维分布函数的定义和性质；会求随机过程的均值函数、协方差函数、方差函数、自相关函数；了解Kolmogvr
6、ov 定理。教学重点：随机过程的有限维分布函数；随机过程的数字特征（均值函数、协方差函数、方差函数、自相关函数） 。教学难点：随机过程有限维分布；Kolmogvrov 定理。一、随机过程的分布函数1. 一维分布函数设 X (t )是一随机过程，称Ft( x)F (t, x)P X (t ) x 为 X (t )的一维分布函数 .Ft (x)x若f (t, x) 0,使得F (t , x)f (t, y)dy 则称 f (t, x) 为 X (t)的一-维概率密度 .2.二维分布函数设二维随机向量 ( X (t1), X (t2 ) (t1 , t2 ) T ，Ft ,t( x1 ,x2 )F(
7、t1 ,t 2 , x1 , x2 ) P X (t1 )x1 , X (t2 ) x212称为二维随机向量( X (t1 ), X (t2 ) 的分布函数。Ft1 , t2( x1 , x2 )F (t1 , t2 , x1, x2 )x1 x2若f (t1,t 2 , x1, x2 ) 0,f (t1 ,t2 , y1 , y2 )dy1dy2-则称f (t1, t2 , x1, x2 )为二维概率密度.3. n 维分布函数n维随机向量 ( X (t1), X (t2 ), X (tn )的联合分布函数为Ft 1 , ,tn ( x1, xn )F (t1,t n ; x1 , xn )P
8、 X (t1 )x1, X (tn )xn 若f (t1 , tn ; x1, xn )0,Ft 1 , ,tn ( x1, xn )F (t1 ,tn ; x1 , xn )x1xn1, tn ; y1 , yn )dy1dyn-f (t称为 n维随机向量 ( X (t1 ), X (t2 ), X (tn ) 的 n维分布函数 . 则称 f (t1 , ,tn ; x1 , , xn )为 n维概率密度 .4. 有限维分布族一维、二维， n维分布函数的全体:Ft1(x1,xn)，, ,n1, , tnt1tn T称为有限维分布族5. 有限维分布族的性质(1) 对称性Ftj1, ,tjn(x
9、 j, , x j)F (t j , , t j; xj, , x j)1n1n1nP X (t j1 )x j1 , X (t jn )x jn P X (t1 )x1 , , X (t n )xnFt1 , ,tn ( x1, xn )F (t1 , tn ; x1, xn )（ 2）相容性对于mn 有Ft j , , t jm,t jm 1, , t j(x1, , xm , , , )Ft j , ,t j( x1, , xm )1n1m注 1：随机过程的统计特性完全由它的有限维分布族决定。注 2：有限维分布族与有限维特征函数族相互唯一确定。问题：一个随机过程 X (t ); tT 的
10、有限维分布族，是否描述了该过程的全部概率特性？定理：（Kolmogorov 存在性定理）设分布函数族 Ft1 , ,t n ( x1 , xn )，t1,t nT, n1 满足以上提到的对称性和相容性，则必有一随机过程 X (t); t T ，使 (x1,xn)，, ,n1恰 好是Ft1 , ,t nt1tn T X (t); t T 的有限维分布族，即：Ft1 , ,t n ( x1 , , xn )P X (t1 ) x1, , X (tn )xn定理说明： X (t ); t T的有限维分布族包含了 X (t ); t T 的所有概率信息。例2.4 袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中 任取一球后放回， 对每一个确定的 t对应随机变量t如果对 t时取得红球X (t )3et如果对 t时取得白球试求这个随机过程的一维分布函数族 .例 2.5 利用抛掷硬币的试验定 义一个随机过程 .cost, 出现正面X (t)t R2t ，出现反面设出现正面反面的概率是相同的。(1)写出 X (t)的所有样本函数（实现）；1(2)写出 X (t )的以为分布函数 F1( x;)和F1 ( x;1).Kolmogorov 定理说明，随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述，但在实际问题 中，要知道
