第7讲矩阵分析.doc

《第7讲矩阵分析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第7讲矩阵分析.doc（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第7讲 矩阵分析内容：1. 向量范数与矩阵范数2. 向量序列与矩阵序列的极限3. 函数矩阵的微分与积分4. 矩阵的幂级数5. 矩阵函数6. 矩阵分析的一些应用首先介绍范数，向量范数与矩阵范数在研究数值方法的收敛性,稳定性及其误差估计方面有重要作用；其次，将高等数学中的极限，导数，积分和级数等概念与有关结果推广到矩阵；最后，介绍矩阵序列，矩阵函数的概念及其计算方法，并引入矩阵函数在解微分方程方面的应用1 向量范数与矩阵范数1 向量范数1.1 向量范数向量范数是用来刻画向量大小的一种度量实数的绝对值，复数的模及用内积定义的向量的长度都是抽象范数的原型定义1.1 设是数域上的线性空间，若对中的任一元

2、素（向量），都对应一个实值函数，且满足以下性质：(1) 非负性 ,当且仅当时,有 (2) 齐次性 (3) 三角不等式 则称为上元素（向量）的范数()称定义了范数的线性空间为赋范空间例1.1 设,则 ，都是上的向量范数，其中又称为范数，此外这三种范数又分别称为1-范数，2-范数与-范数引理1.1 如果实数,且，则对任意非负实数有 （1） 证明：当或时，式（1）显然成立设，对于，记可知，为的最大值，故有对任意正实数，令， ，则有令，则引理1.2 设，则 其中实数,且此时称该不等式为Holder不等式定理1.1 设，证明是的向量范数证明 (1) 非负性是显然的(2) 齐次性对，则(3)三角不等式设,

3、设，则.由Holder不等式有+ 因此 +，即 因此是中的一种向量范数容易得出：当时,；当时,；当时,有1.2 向量范数的性质（1）零向量的范数是0（2）当时, （3）对任意,有 （4）对任意,有 事实上,有，即又，即，故 1.3 向量范数的等价性定义1.2 设与是维线性空间上定义的任意两种向量范数，若存在，使得对所有的，总有成立，则称向量范数与等价 容易验证向量范数的等价具有自反性，对称性和传递性，且常用的各种范数之间有如下的等价关系： ，可见，和互相等价定理1.2 有限维线性空间上的任意两个向量范数都是等价的定理1.3 设是上的一种向量范数，给定矩阵，且的个列向量线性无关，对于任意，规定，

4、则是上的一种向量范数2 矩阵范数2.1 矩阵范数定义1.3 设是复线性空间，若对中的任一元素（矩阵），都对应一个实值函数，且满足以下性质：（1）非负性 ,当且仅当时,有 （2）齐次性 （3）三角不等式 （4）相容性 则称为上元素（矩阵）的范数例1.2 设，则是上的一种矩阵范数，称为矩阵的范数证明：（1）正定性与（2）齐次性是显然的（3）三角不等式设，则.（4）相容性因可见是上的一种矩阵范数例1.3 设，则是一种矩阵范数，称为矩阵的范数证明 （1）正定性与（2）齐次性是显然的（3）三角不等式设，则（4）相容性，故是上的一种矩阵范数2.2 矩阵范数的性质（1） 对任意，有（2） 对任意，有2.3

5、矩阵范数的等价性定义1.4 设与是维线性空间上定义的任意两种矩阵范数，若存在，使得对所有的，总有成立，则称矩阵范数与等价 定理1.3 有限维线性空间上的任意两个矩阵范数都是等价的 2.4 诱导范数定义1.4 设是向量范数，是矩阵范数，如果对任意矩阵和任意维向量，均有，则称为与向量范数协调的矩阵范数，或称矩阵范数与向量范数是相容的定理1.4 已知与上的同类向量范数，设，则是上的矩阵范数，且与已知的向量范数相容定义1.4 称由向量范数诱导的矩阵范数为诱导范数（或从属范数，或算子范数）矩阵范数通常指诱导范数定理1.5 设，则从属向量的三种范数，的诱导范数依次是（1） （称为列范数）；（2）（称为谱范

6、数），其中是矩阵最大的特征值；（3）（称为行范数）定理1.6 设是阶矩阵，是诱导范数，当时，则可逆，且有定理1.7 设是诱导范数，则存在向量范数使成立2 向量序列与矩阵序列的极限2.1 向量序列的极限定义2.1 设,若 ，则称向量序列收敛于向量或称向量是向量序列当时的极限,记作 或 否则则称向量序列发散（或不收敛）由向量范数的等价关系知,若向量序列在某一向量范数意义下收敛,则在其它向量范数下也收敛例2.1 设，则 定理2.1 设,则向量序列收敛于的充要条件为向量序列的各分量收敛于的对应分量，即证明 必要性对任何的向量范数及,总存在,使得对,均有，从而， ，所以有充分性.若,则，即，再由向量范数

7、的等价性知,上述结论对中任意向量范数均成立,即充分性得证例2.2 考察下列向量序列的收敛性：(1) (2) 解 (1)当时,所以(2) 时,发散,即不存在2.2 矩阵序列的极限定义2.2 设有矩阵序列,其中,设，如果当时,有，则称收敛,并称矩阵为的极限,或者说收敛于,记作或者 .否则则称矩阵序列发散（或不收敛）若为的极限, 则的极限是零阵2.3 向量序列和矩阵序列的极限的运算性质（1） 若,则,.（2） 若,则.（3） 若,且及均可逆，则定义2.3 设,是的特征值,则称为的谱半径,记作定理2.2 设,为的谱半径，则对任意给定的正数,总存在矩阵的某种范数，使得.定理2.3 设有矩阵序列 ，则的充

8、要条件是，其中为的谱半径证明 必要性设,由于,故有，即有，其中， ，为若当块,可能有相同的，初等因子的指数也可能有相同的,且.又因为充分大时, ，的充要条件为，故,从而.充分性设的谱半径,则,由此可知，从而有，即当收敛于零阵时，则称为收敛矩阵3 函数矩阵的微分与积分3.1 函数矩阵的导数与微分定义3.1 称由变量的个实函数（，）为元素构成矩阵为的函数矩阵阶矩阵的特征矩阵及一般的矩阵均是一种函数矩阵矩阵元均为常量的矩阵称为常数矩阵常数矩阵是特殊的函数矩阵函数矩阵的运算性质、秩、可逆等定义类似常数矩阵定义3.2 设,若在点处可导，则称函数矩阵在点处可导,并称以个导函数为元素的函数矩阵为的导数,记作

9、,即3.2 函数矩阵求导的法则与性质：（1）若是常数矩阵,则（2）若与均可导,则（3）若与均可导,则特别地,若是可导的实函数,可导,则（4）若与均可导,则（5）若可导,是的实值可导函数,则函数矩阵的导数仍然是一个矩阵，还可以再进行求导运算，因而可以定义函数矩阵的高阶导数：例3.1 设函数阵，计算与解： ，3.3 函数矩阵的积分定义3.3 设,则将每个取不定积分所得的函数矩阵称为的不定积分,记作,即同样方法可以定义在区间上的定积分为3.4 函数矩阵的积分性质：（1） ，为常数；（2） ；（3） 例3.2 设函数矩阵，计算与4 矩阵的幂级数4.1 矩阵级数定义4.1 设有方阵序列,其中,则称无穷求

10、和为矩阵级数,记作,称为矩阵级数的一般项(或通项),即 (4.1)定义4.2 矩阵级数(4.1)的前项的和称为矩阵级数(4.1)的部分和,若矩阵序列收敛于,则称矩阵级数收敛,并且和为,记作若矩阵序列发散,则称矩阵级数(4.1)发散例4.1 设二阶方阵序列，判断矩阵级数的敛散性解 部分和为，由的展开式,有，,即定理4.1矩阵级数收敛的充要条件为个数项级数都收敛,并且有如下性质：1）若,则2）若,则3）若收敛,则.定义4.3 设有矩阵级数，其中,如果数项级数都绝对收敛,则称该级数绝对收敛定理4.2 绝对收敛的矩阵级数一定收敛,而且任意改变各项的次序后仍然收敛且其和不变；方阵级数绝对收敛的充要条件是

11、对于任意一种方阵范数，数项级数收敛；设方阵级数为与同阶的可逆阵,则方阵级数收敛,且4.2 方阵的幂级数定义4.4 设,则矩阵级数 称为方阵的幂级数定理4.3 若正项级数：收敛，则方阵级数绝对收敛,其中为矩阵的某种范数证明 因，所以定理得证推论 设幂级数的收敛半径为,若矩阵的某种范数满足,则方阵幂级数绝对收敛注：推论中的范数并不是要求的任一种范数都在收敛圆内,而仅要求的某一种范数在收敛圆内即可.例4.2 设,证明绝对收敛证明 因为幂级数，的收敛半径,而，故结论成立定理4.4 设幂级数的收敛半径为,的谱半径为，则当时,矩阵幂级数绝对收敛；当时, 矩阵幂级数发散例4.3 证明绝对收敛的充要条件是,且

12、其和为.证明 因为幂级数的收敛半径,当时,矩阵幂级数绝对收敛反之,若绝对收敛,则，即的谱半径因绝对收敛,有，再由逆阵的唯一性,得，即例4.4 设矩阵，讨论的敛散性；若收敛,求其和解 因为，所以矩阵幂级数收敛,且其和为5 矩阵函数5.1 矩阵函数定义5.1 设，则当时，称为矩阵函数称，分别为方阵的矩阵指数函数与矩阵三角函数还可定义矩阵对数函数，矩阵幂函数等5.2 矩阵函数的性质：（1） 若，则有特别有：；，为任意整数（2） 对，都有（3） 当时，有 1） 2） 3） 4） 5）（4）对，都有；例5.1 设，求 解 因，所以 5.3 矩阵函数的计算方法当给定一个方阵时，介绍两种常用的求矩阵函数 1

13、）相似标准形法引理5.1 设，若为对角阵，且，则证明 引理5.2 设，若为分块对角阵，且，则引理5.3 设有阶块，则当时，证明 记，由于，又，当时，当时，所以 当 时，有=+ 因，则可得结论引理5.4 设，若为阶块,则 .定理5.1 设，矩阵的标准形为，即存在可逆阵，使得，则 证明 由，有,所以 即定理得证注：含参变量的矩阵函数，有：1）若，即，,此时与没有本质的区别；2）若，即，但是这里的已经不是块，而是如下形式此时与有本质的区别定理5.2 设，则 ，其中 例5.2 设，试计算及解 首先，求出的相似标准形的特征多项式为，所以 其次，求对应于特征值的特征向量分别为，所以及其逆阵为最后，计算与矩阵函数及例5.3 设，试计算（其中为参变量）解 首先，求的相似标准形，不变因子为，初等因子组为，的标准形为 其次，求设，则由 有，即 可得:, ,. 解得 ，有， 最后，计算的矩阵函数由 ，有 2） 待定系数法定义5.2 设阶方阵的最小多项式为，的谱为，若两函数与满足，（），则称两函数与在的谱上一致定义5.3