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1、2013年备考专题：求函数值域的7类题型和16种方法四川省中江县城北中学兰序国一、函数值域基本知识1定义：在函数中，与自变量x的值对应的因变量y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。2确定函数的值域的原则当函数用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；当函数用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；当函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域均应考虑
2、其定义域。一般地，常见函数的值域：1.一次函数的值域为R.2.二次函数，当时的值域为，当时的值域为.，3.反比例函数的值域为.4.指数函数的值域为.5.对数函数的值域为R.6.正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R.三、求解函数值域的7种题型题型一：一次函数的值域（最值）1、一次函数： 当其定义域为，其值域为； 2、一次函数在区间上的最值，只需分别求出，并比较它们的大小即可。若区间的形式为或等时，需结合函数图像来确定函数的值域。题型二：二次函数的值域（最值）1、二次函数， 当其 定义域为时，其值域为2、二次函数在区间上的值域(最值)首先判定其对称轴与区间的位置关系（1）若,则当时，是函数
3、的最小值，最大值为中较大者；当时，是函数的最大值，最小值为中较小者。（2）若,只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值。特别提醒：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；若给定的区间形式是等时，要结合图像来确函数的值域；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。例1：已知 的定义域为，则的定义域为 。例2：已知，且，则的值域为 。题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数的定义域为，值域为2、形如：的值域： （1）若定义域为时，其值域为（2）若时，我们把原函数变形为，然后利用（即的有界性），便可求出函数的值域。例3：函数的值域为 ；若时，其值域为 。例
4、4：当时，函数的值域 。 （2）已知，且，则的值域为 。例5：函数的值域为 ；若，其值域为 。题型四：二次分式函数的值域一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题： 检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；闭区间的边界值也要考查达到该值时的是否存在；分子、分母必须是既约分式。例6：； 例7：； 例8：； 例9：求函数的值域解：由原函数变形、整理可得： 求原函数在区间上的值域，即求使上述方程在有实数解时系数的取值范围当时，解得： 也就是说，是原函数值域中的一个值 当时，上述方程要在区间上有解，即要满足或 解得： 综合得：原函数的值域为：题型
5、五：形如的值域 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题，然后求其值域。例10： 求函数在时的值域 题型六：分段函数的值域： 一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。例11： 例12： 题型七：复合函数的值域 对于求复合函数的值域的方法是：首先求出该函数的定义域，然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。例13： 例14： 四、函数值域求解的十六种求法（1）直接法（俗名分析观察法）：有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域
6、。即从自变量的范围出发，推出的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。注意此法关键是定义域。例1：已知函数，求函数的值域。 例2：求函数的值域。 例3：求函数的值域。 例4：求函数的值域。 （2）配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。对于形如或类的函数的值域问题，均可使用配方法。例1求函数的值域。分析与解答：因为，即，于是：，。例2求函数在区间的值域。分析与解答：由配方得：，当时，函数是单调减函数，所以；当时，函数是单调增函数，所以。所以函数在区间的值域是。（3）最值法：对于闭区间上的连续
7、函数，利用函数的最大值、最小值，求函数的值域的方法。例1 求函数y=3-2x-x2 的值域。解：由3-2x-x20，解出定义域为-3，1。 函数y在-3，1内是连续的，在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4，最小值为0。函数的值域是0,2例2：求函数，的值域。 例3：求函数的值域。 （4）反函数法（逆求或反求法）：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。即通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围。对于形如的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。例1：求函数的值域。解：由解得，函
8、数的值域为。（5）分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。例1：求函数的值域。解：，函数的值域为。（6）换元法（代数/三角）：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。对形如的函数，令；形如的函数，令；形如含
9、的结构的函数，可利用三角代换，令，或令.例1：求函数的值域。解：令（），则，当，即时，无最小值。函数的值域为。例2求函数的值域。分析与解答：令，则。，当时，值域为例3求函数的值域。分析与解答：由=，令， 因为，则=，于是，所以。（7）判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域。对形如（、不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于x的二次方程，由于方程有实根，即从而求得y的范围，即值域。值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论。注意：主要适用于定义在R上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论。例1：求函数的值域。解：由变形得，当时，此方程无解；当
10、时，解得，又，函数的值域为（8）函数单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例如，.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题。例1：求函数的值域。解：当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，函数在定义域上是增函数。，函数的值域为。例2求函数在区间上的值域。分析与解答：任取，且，则，因为，所以：，当时，则；当时，则；而当时，于是：函数在区间上的值域为。构造相关函数，利用函数的单调性求值域。例3：求函数的值域。分析与解答：因为，而与在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数，易知在定义域内单调增。，又，所以：，。（9）基本不等式法利用基本不等式求
11、函数值域, 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值。利用基本不等式，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件;为定值；取等号成立的条件.三个条件缺一不可。此外，有时需要合理地添项和拆项和两边平方等技巧, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,比如求函数的值域。例1 求函数的值域. 解: , 当且仅当时成立. 故函数的值域为. 此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中解二次不等式的过程. 例2：求函数的值域：.
12、 解： 当且仅当时，即时等号成立，所以元函数的值域为.例3. 求函数的值域。解：原函数变形为：当且仅当即当时，等号成立故原函数的值域为：例4. 求函数的值域。解： 当且仅当，即当时，等号成立。由可得：故原函数的值域为：（10）函数有界性法： 利用某些函数有界性求得原函数的值域。对于对形如，由于正余弦函数都是有界函数，值域为-1，1，利用这个性质可求得其值域。例1：求函数的值域。解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为，对函数进行变形可得，（，），函数的值域为形如可解出Yr 范围,从而求出其值域或最值。例2求函数的值域解： 由得例3：求函数的值域。 例4：求函数的值域。 （11）数型结合法：如
13、果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域，如由可联想到两点与连线的斜率或距离。例1：求函数y=|x+1|+|x-2|的值域。解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象，由图象可知，函数的值域是y|y3。解法2（几何法或图象法）：函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，易见y的最小值是3，函数的值域是3，+。如图 ）例2求函数的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=,则EK=2,KF=2,AK=,KC=。由三角形三边关系知，AK+KCAC=5。当A、K、C三点共线时取等号。原函数的知域为y|y5。例3求
