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1、第三章 导数 微分 边际与弹性习题3-11、设有一根细棒位于轴上的闭区间处,对棒上任意一点处,细棒分布在上的质量为,用导数表示细棒在处的线密度(对均匀细棒,单位长细棒的质量叫该棒的线密度.解：在上,细棒的质量为,平均线密度为,那么,细棒在处的线密度为.2、当物体的温度高于周围介质的温度时,物体就不断冷却,若物体的温度与时间的函数关系为,用导数确定该物体在时刻的冷却速度.解：从时刻到时刻,物体平均冷却速度为,那么, 物体在时刻的冷却速度为.3、质量为的某种金属从加热到所吸收的热量为.它从升温到,所需的热量为,称为这种金属从到的平均比热的平均比热,用导数表示该金属在时的比热.解：从升温到,金属的平
2、均比热为 ,那么,金属在时的比热为.4、设,试按定义求.解：.5、下列各题中均假定存在,按照导数定义求下列极限,指出表示什么?(1) .(2) .(3) 设且存在,则.(4) 设为不等于零的常数,则.6、设(为常数),判定下列命题的正确性.(1)在点可导；解：正确.因存在且等于,于是在点可导,且.(2)；解：正确.因,有,于是,.另解：正确.因,有,于是,.(3)存在；解：正确.因.(3).解：正确.(同上)7、求下列函数的导数：(1) ；解：.(2) ；解：.(3) ；解：.(4) ；解：.(5) ；解：.(6) ；解：.8、设函数可导,且求.解：.9、如果为偶函数,且存在,证明.证明：因为
3、为偶函数,有,又存在,于是, 所以.10、求曲线上点处的切线方程和法线方程.解：因, 那么切线斜率：,法线斜率：. 切线方程为 ,即 ； 法线方程为 ,即 .10、求过点的一条直线,使它与曲线相切.解：曲线在点的切线斜率为,于是, 切线方程为 , 因此线过点, 有 又 ,联立上两方程解之得 ,故所求直线方程为 即 .11、讨论下列函数在指定点处的连续性与可导性：(1) 在处；解：因, 由于 , 故在处不可导.因, 知,故在处连续.(2) 在处；解：因, 由于 , 故在处不可导.因,故在处连续.(3) 在处；解：因, 故在处不可导.因,故在处不连续.另解：因,知在处不连续,从而在处不可导.13、
4、设函数求导函数.解：当时,有；当时,有；当时,由于,于是.总之,14、已知在处连续,且,求.解：由条件知,于是.15、设函数为了使函数在处连续且可导,应取什么值？解：由于,那么,为了使函数在处连续,只需,即；取,由于,可见,为了使函数在处可导,只需,即；总之,为了使函数在处连续且可导,应取,.16、设,其中在处连续,求.解：依题意,有,且,那么.17、证明:双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于.证明：双曲线即,其上点处切线斜率为:,切线方程为: ,令,得切线与轴的交点纵坐标,令,得切线与轴的交点横坐标,于是,切线与两坐标轴构成的三角形的面积为.习题3-21、推导余切函数及余
5、割函数的导数公式：,.证明：.2、求下列函数的导数：(1) .(2) .(3) .(4) .(5) .(6) .(7) .另解：.(8) .(9) .(10) .3、求下列函数在给定点处的导数：(1) ,求和.解：由于,于是,.(2) ,求.解：由于,于是.(3) ,求和.解：由于,于是, .4、求曲线的切线方程,使该切线平行于直线.解：已知直线的斜率为,依题意,曲线在点所求切线的斜率,得,相应的,则所求切线方程为 ,即 .5、求下列函数的导数：(1) .(2) .(3) .(4) .(5) .(6) .(7) .(8) .(9) .(10) .6、求下列函数的导数：(1) .(2) .(3)
6、 .(4) .(5) .(6) .(7) .(8) .(9) .(10) .7、求下列函数的导数：(1) .(2) .(3) .(4) .(5) .(6) .(7) .(8) .(9) .(10) .(11) .(12) .另解：.8、设函数和可导,且,试求函数的导数.解：.9、设函数是可导函数,求下列导数：(1) .(2) .10、求下列函数的导数：(1) .(2) .(3) .(4) .(5) .(6) .(7) .(8) .(9) .(10) .习题3-31、求下列函数的二阶导数：(1)；解：，, .(2)；解：，.(3)；解：，.(4)；解：，.(5)；解：，.(6)；解：，.(7)
7、；解：，.(8)；解：，.2、求下列函数的导数值：(1),求；解：,于是.另解：于是.(2),求；解：,于是.另解：, ,由于,那么.(3),求；解：,于是.3、试从导出：(1) .(2) .4、设二阶可导,求：(1) ;解：, .(2) ;解：, .(3) ;解：, .(4) .解：, .5、验证函数(是常数)满足关系式：.证明：由于,所以.6、验证函数满足关系式：.证明：由于,所以.注意记住下列函数的阶导数：(1) .证：(1)当时, 公式成立.(2)假设公式对成立,即 .(3) .即公式对成立. (2) .证：(1)当时, , 公式成立.(2)假设公式对成立,即 .(3) . 即公式对成
8、立.7、求下列函数的阶导数：(1)；解：.(2)；解：, .(3)；解：,.(4)；解：,.于是,.(5)；解：,假设,则.(6)(都是常数).解：由于,.那么.8、求下列函数所指定的阶的导数：(1) ,求；解：，而,又,那么 .(2) ,求.解：，而,又,那么.习题3-41、求由下列方程所确定的隐函数的导数：(1); 解：方程两边对求导得:,于是 . (2);解：方程两边对求导得:,于是 .(3);解：方程两边对求导得:,于是 .(4);解：方程两边对求导得:,于是.(5);解：方程两边对求导得:,于是.(6).解：方程两边取对数后对求导得:,于是.2、求由方程所确定的隐函数在的导数.解：将
9、代入方程：, 得:;方程两边取对数后对求导得: ,将代入：，得: .3、求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数：(1); 解：方程两边对求导得:,于是 ,从而 .(2); 解：方程两边对求导得: ,于是,从而 .(3); 解：方程两边对求导得: ,于是,从而 .(4).解：方程两边对求导得: ,于是,从而 .4、用对数求导法求下列函数的导数：(1) ；解：,两边对求导得： ,于是 .(2) ；解：,两边对求导得： ,于是 .(3) ；解：,两边对求导得： ,于是 .(4) .解：,两边对求导得： ,于是 .5、写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程.(1) 在处；解：当时,对应的
10、点为,而切线斜率为：,于是切线方程为：,即：,法线方程为：,即：.(2) 在处.解：当时,对应的点为,而切线斜率为：,于是切线方程为：,即：,法线方程为：,即：.6、求下列参数方程所确定的函数的一阶和二阶导数：(1) 解：,.(2) 解：,.(3) 解：,.(4) 解：,.(4) 解：,.(5) 解：,.另解：,.(6) 设存在且不为.解：,.习题3-51、设函数,计算在处,分别等于时的增量的及微分.解：由于, 于是, ,.2、设函数的图形如图3-10(a)、(b)、(c)、(d)中分别标出在点的、及,并说明其正负 .3、求下列函数的微分：(1) ；解：由于,于是.(2) ；解：由于,于是.(
11、3) ；解：由于,于是.(4) ；解：由于,于是.(5) ；解：由于,于是.(6) ；解：由于,于是.4、将适当的函数填入下列括号内,使等式成立：(1) ；解：,其中为任意常数(下同).(2) ；解：.(3) ；或解：.或(4) ；解：.(5) ；解：.(6) ；解：.(7) ；解：.(8) ；解：.5、用微分求由方程确定的函数的微分与导数.解：对方程两边微分,得,于是, .6、用微分求参数方程,确定的函数的一阶导数和二阶导数.解：已知,那么,而,则.7、利用微分求近似值：(1) ；解：令, 取和, 那么 .(2) ；解：令, 取和, 那么 .(3) ；解：令, 取和, 那么 .(4) .解：令, 取和, 那么 .(5) .解：令, 取和, 那么 .8、当很小时,证明下列近似公式：(1) ;证明：取
