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1、运用比较对照法 培养数学思维品质刘超然（广东省广州市第九十三中学） 【摘要】 数学是思维的体操，比较是一切理解和思维的基础。在初中数学教学中，恰当运用比较对照法，使学生在主动探索、自主建构知识的过程中，不仅学会了数学知识，更学会了分析问题、解决问题的方法，进而培养了良好的数学思维品质。【关键词】 数学思维 数学思维品质 比较 对照 一、问题的提出新课程理念下数学教育的最终目标不是指学生通过数学的学习能够解决多少纯数学问题，而在于培养学生会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科中的问题，进而促进学生全面、持续、和谐的发展。因此，在数学教学中，要关注学生思维的发展。而数
2、学思维品质是评价和衡量数学思维优劣的标志。培养学生良好的思维品质，有利于学生形成良好的思维策略,增强反应能力和解决问题的能力。另一方面，建构主义认为，学习是一个以学习者已有知识和经验为基础的主动的建构过程。教师作为数学学习的组织者、引导者，应该向学生提供充分从事数学活动的机会，让学生在勇于探索、敢于提问、善于思考、相互合作、相互学习的轻松、和谐的氛围中主动获取知识，发展思维，培养品质，提高能力。基于以上两点，在教学实践中，恰当地采用比较对照法，挖掘知识之间的内在联系和区别，让学生自己在探索新知、发现问题、解决问题的过程中，培养自主探究的能力和思维能力，进而培养学生良好的数学思维品质。二、本论文
3、中“关键词”的含义数学思维是指利用数学语言，运用抽象、概括等方法对数学对象的间接概括的反映过程。数学思维品质是指思维的广阔性、灵活性、深刻性、创造性、严谨性、批判性等品质在数学中得到充分的体现。它是评价和衡量数学思维优劣的标志。“比较、对照”是把两种或两种以上事物放在一起，辨别异同，认识本质，揭示规律的思维方法。“比较”是人类思维的基本方式, 正如俄国教育家乌申斯基所说：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。” 比较对照法，是指创设一定的学习情境，在认识、分析的基础上，通过对知识结构进行比较、分析、归纳，探求其内在本质和规律的一种教学方法。比较对照法是一种有效的教
4、学方法,在课堂上通过比较对照展示知识的发生、发展、形成完整的认知过程。因此，比较对照法在培养学生分析、探索问题的能力的基础上，有利于培养学生良好的数学思维品质。三、比较对照法在培养数学思维品质中的作用新课程提倡的课堂教学是教师与学生相互沟通解决数学问题的过程。在课堂教学中运用“比较对照法”引导学生自主探究，可创设自主学习氛围，培养良好的数学思维品质。（一）类比迁移，培养思维的广阔性思维的广阔性是指能多方面、多角度地去思考问题；或利用已有的知识策略，将其推广到类似的问题中去。类比迁移指运用先前已解决问题的现在知识去指导新问题解决。这种解决问题的策略，实际上是利用学生早已熟悉的事物，将陌生的新知识
5、，新问题变成为学生所熟悉的可解问题，可培养学生思维的广阔性。1 类比同化有些概念的本质相同，只是名称不同，有着等同关系。对于这类概念，教师应注意从学生已有的知识背景出发，引导和启发学生找到新知识与认知结构中原有有关知识之间的联系,发现它们的共同点,使它们能在一定意义下进行类比，同化新知识。如通过复习分数的基本性质，让学生类比探讨分式的基本性质；复习分数的计算类比学习分式的计算；通过复习全等三角形的识别方法，来探索相似三角形的识别方法；通过复习合并同类项的方法学习二次根式的加减等等。2.类比扩展有些概念可以看作是在已有概念的基础上扩展而成。对于这类概念，注意从已有的知识出发，引导学生顺利扩展，自
6、主生成新的概念。案例1.华东师大版八年级下册“17.2.1平面直角坐标系”的新知引入，可以在“用有理数确定水平方向数轴上的点的位置”的基础上,类比地增加竖直方向上点的位置的确定，从而把数轴扩充到平面直角坐标系。问题1：试举例说明：在某一组中的学生需要几个数来确定位置，教室内的学生需要几个数来确定位置？(引导学生感受一条直线上的点只需要一个数据就可以确定，而平面内的点需要两个数据才能确定)问题2：图1中数轴上的点A如何表示。(用3表示，引导学生复习数轴上的点可用一个实数表示)问题3：如图2,如果把图1中的点垂直地向上移动2个单位，要怎样才能表示清楚点A的位置呢？图1 图2 图（让学生充分尝试后，
7、得出要再加上一个数据2来说明该点在竖直方向的位置。这样就可通过水平方向的3和竖直方向的2这两个数据来描述该点，记作（3，2）。）问题4：如图3,若把图1中的点垂直地向下移动2个单位，又要怎样来表示这个点的位置呢？（让学生对比地得出：需要再加一个负数（-2）才能说明该点在竖直方向的位置，这样就可通过水平方向的3和上下方向的-2这两个数据来描述点A，记作（3，-2）。）问题5：对于平面内的点，需要几个数据才能描述清楚其位置？这种表示方法相当于增加了一个什么方向的数轴？（学生自然地得出平面内的点需要两个数据才能确定，并引导学生类比横轴建立一个坚直方向的纵轴，从而自然地建立了平面直角坐标系及平面内点的
8、坐标表示，按照先入为主原则，横坐标在前。）传统教学都是直接告诉学生平面直角坐标系的建立方法，学生只是知识的被动接受者，只有“记忆”的低级思维活动。而本设计引导学生在复习、类比熟悉的“数轴上点的表示方法”的基础上，结合生活经验，顺利扩展，使新知的生成水到渠成，使学生感悟到“由生活中的模型抽象出数学概念”这一思维方法的广阔性。类比是提出新问题和获得新发现的一条重要途径。正如著名的数学家波利亚所说：“类比是一个伟大的引路人”。 教学中，教学中恰当地运用旧知，通过类比，实现知识的正迁移，十分有利于学生对新知的理解和新的认知结构的形成，进而培养思维的广阔性。（二）一题多变、对比练习，培养思维的灵活性 思
9、维的灵活性是指能够根据具体问题具体分析，善于根据条件的变化及时调整思维与方法。由于数学本身具有形式化，即概念的表述或解题过程形式化，所以学生解题往往墨守成规，缺乏灵活性。通过一题多变，进行对比练习，可培养学生思维的灵活性。图4案例2.如图4，在ABC中，以AB为直径作O交BC于点D,AB=AC,DE切O于点D，交AC于E。观察并猜想：DE与AC有怎样的位置关系？证明你的猜想。变式练习1 ：如图1，在ABC中，以AB为直径作O交BC于点，若DE切O于点D，且DEAC，那么，AB与AC的数量关系如何？为什么？变式练习2：如图1，等腰ABC，以AB为直径作O较BC于点D，且DEAC,垂足为E。求证：
10、DE是O的切线。通过一题多变的对比练习，灵活应用切线的性质定理和判定定理，提高分析问题、解决问题的能力，培养了思维的灵活性。（三）一题多解，比较归纳，培养思维的深刻性思维的深刻性是指思维的深度，是发现和辨别事物本质的能力。数学思维的深刻性表现在：善于洞察数学对象的本质属性和内在联系；善于挖掘隐含的条件与发现新的有价值的因素。通过对同一问题多种解法的比较归纳，提炼这些解法的共同本质，实现多解归一，可培养思维的深刻性。案例3.三角形内角和定理的证明学生通过探究，得到多种作辅助线的方法：（1）如图5，延长BC得到平角BCD，然后以CA为一边，在ABC的外部画1=A；（2）如图5，延长BC，过点C作C
11、EAB；（3）如图6，过点A作DEBC；（4）如图7，过点C作CDAB；（5）如图8，在BC边上任取点P, 作作PFAB,PEAC。图5图6图7探索出这么多种解法后，开拓了学生的思维，但这些解法是零散的、杂乱的，部分学生会感觉数学变化多端而出现畏难情绪。这时比较总结这些解法的共同本质，即都是构造平角或同旁内角（180），只是构造的方法略有区别。这样多解归一，学生的思维品质得到提升。 在教学中，多引导学生通过比较归纳，感悟到：很多题表面虽然千差万别，但用到的知识和方法就那么多，都可实现多题归一、多解归一，培养思维的深刻性。 （四）新旧知识对比，自主发现方法，培养思维的创造性美国数学教育家G.波利
12、亚明确指出：“学习任何东西，最好的途径是自己去发现”。教学中，教师精心创设“疑问”，引导学生与已有知识对比，自己去发现解决问题的方法，进而培养思维创造性。 案例4. 华东师大版课标教材七年级上册“7.2解二元一次方程组”的教学设计如果脱离实例，直接讲授方程组的代入消元法，是典型的“注入式”教学方法，只会使学生感到方法突兀而只能死记。笔者采用如下引例。引例：鸡兔同笼头共40脚共100，鸡兔各几何？问题1：如何求出鸡兔数目？（学生经思考后，通过列一元一次方程解出笼中鸡30只，兔10只。）问题2：若直接设鸡、兔两个末知量，应该怎样列方程呢？（引导学生复习列二元一次方程组及其求解）问题3：二元一次方程
13、组能解出吗？（顺势让学生借助一元一次方程求解的思路和经验，迁移到由“x+y=40可将兔数y用鸡数x来表示，得到：y=40x。然后再由脚数2x+4y=100得出即有2x+4（40-x）=100解得x=30。”这一实际背景，使学生感悟到“化二元为一元”的基本思路，有机地生成了用代入消元法解二元一次方程组的一般思路。）通过这一实际背景，把所列二元一次方程组与一元一次方程比较，很好地推动了学生的创造性思维：化二元为一元，有机地生成了用代入消元法解二元一次方程组的一般思路。几乎任何新知识都可在与旧知识比较的基础上，转化为已有的知识去解决。在这比较转化的过程中，学生的思维碰撞出了创造性的火花。（五）与反例
14、对照，培养思维的严谨性思维的严谨性是指思维过程应服从于严格的逻辑规则，考察问题时严格准确，进行运算和推理时准确无误。初中学生在几何学习时，不严谨的推理时常出现。这时，可引导学生设计反例，在与反例的比较中理解定理所需条件的同时，培养思维的严谨性。案例5. 得到“角平分线的性质定理”后，为避免学生应用定理时只写“角平分线”这一个条件，提出如下问题：问题1：如图9，OP平分COD，点M是OP上一点，一定成吗？若不成立，请举反例说明。（学生思考、讨论后，画出了如图10的对照图形。）问题2：比较图9与图10，画出符合定理的图形，并用几何语言表示“角平分线的性质定理”。（学生经历了比较分析过程，明白点到两
15、边的距离必须是“垂线段”，可顺利画出图11，并写出OP平分COD，MAOC于A，MBOD于B，）图11图10图9又如，学生在运用“等腰三角形三线合一”的性质证明时，总是只写“等腰三角形”一个条件。为了让学生深刻明白这一定理成立的条件有两个，可设计如下对照图形：（1）如图12，等腰三角形ABC中，底边BC上的AD为任意线段时，得不出AD是“中线、高、或角平分线”。（2）如图13，ABC不是等腰三角形时BC边上的三线（中线、高、或角平分线）不是合一的。 “举反例”是判定一个命题是假命题的常用方法，在用某些定理进行推理时，为避免学生漏写条件，可与反例对照，有利于培养学生思维的严谨性。（六）通过对比辨析，培养思维的批判性思维的批判性表现在：善于区别不同的运算法则、定律、性质及其适用的条件；善于发现并指出理解过程中可能出现的错误倾向，排除错误的干扰。所谓“有比较才有鉴别”，在教学中，通过教师有意识地设计“错题”，引起学生的对比辨析，去伪存真，有助于学生进行检查反思，培养思维的批评性。案例6.常见错误对比辩析：1判断下列计算是否正确，若不正确，请
