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1、如何作多边形的面积等分线引题：将一个矩形割去一个角得到一个五边形, 如图1，如何作出这个五边形的一条面积等分线? 图1图2这是一个很有意思的问题.从多边形的形状来看，这样得到的五边形虽不是一个规则的多边形，但又是一个特殊的多边形；从题目的要求来看，没有规定要作出的面积等分线必须经过某个特殊的点。要作出这个多边形的面积等分线，有没有确定的作图方法呢？为了解决这个问题，我们先从三角形面积等分线说起.1三角形的面积等分线很显然,三角形的中线一定是它的面积等分线.而三角形的中线都是过顶点的,如果在三角形一边上任取一点,是否可以过这一点确切地作出这个三角形的面积等分线呢？答案是肯定的，可能有读者还不熟悉
2、，在介绍作图方法之前先看梯形的一个性质：如图2，梯形中，交于点，则或者或者.梯形的这个性质在作多边形的面积等分线时将发挥非常重要的作用，在下文中将多次用到。首先利用这个性质可以作出过三角形边上任一点的一条面积等分线。 图 3图4如图3，任意中,是边上的中线,则。是边上异于中点的任意一点，连接，过中点作的平行线与交于点，则图3中的测量结果已经说明就是三角形的过点的面积等分线。事实上，设与交于点，因为，由梯形的性质知,而，交换一下等面积部分和即知等分三角形。因此过三角形边上任意一点的面积等分线都是可以按上面的做法作出，其基本思想是利用前面梯形（平行线）的与面积有关的性质将面积进行转换。若借助超级画
3、板更能快速准确地绘图，而且能动态测量多边形的面积并验证，本文的绘图全部由超级画板作出。2.特殊多边形的面积等分线我们比较熟悉的特殊多边形，如平行四边形、正偶数多边形以及其它的一些中心对称多边形，过它的中心的任意一条直线都将它的面积等分。那么由两个这样的多边形拼接成的新的多边形，过它们的中心的连线就能将拼接成的多边形面积等分，如图4就是一个例子。梯形是一类特殊的四边形，易知连接梯形上下底的中点的连线能够将梯形的面积等分，如图5中的是梯形的面积等分线。若过的中点的直线与上下底分别交于点，则容易发现也是梯形的面积等分线（因）。但当在上底的延长线上时，不再等分梯形面积，如图6，此时的情形我们在后面进一
4、步给出方法。 图5图6因此，我们若将引题中的五边形看成是一个矩形和梯形拼接而成，则一种作面积等分线的方法已经明确：如图7、8所示，分别作出矩形的中心和梯形上下底中点连线的中点，连接即可得到它的面积等分线。 图7 图8对于正奇数多边形来说，过任一顶点和它的中心的连线是它的面积等分线。若不过正奇数多边形的顶点，面积等分线应该如何做？对于梯形来说，若在梯形的腰上取一点，如何做它的面积等分线？下面看看任意四边形的面积等分线的作法。3.任意四边形的面积等分线前面已经解决了过任意三角形边上任意一点的面积等分线，下面探讨一下任意四边形的面积等分线的作法。本文所指的四边形是指凸四边形和凹四边形。（1）过四边形
5、顶点的面积等分线如图9，若等分线要过四边形的顶点，则可以这样作出：连接对角线，过点作的平行线与交于点，则由梯形的性质知,此时=。取的中点，则等分的面积。若在上，则即为所求的面积等分线，如图9情形；若在的延长线上，如图10，此时的并不等分，再过点作的平行线交于，由于，此时是所求的面积等分线。 图9图10对于凹四边形，我们有类似的做法，如图11，连接，过点作的平行线与交于点。因，故，于是凹四边形的面积等于的面积。此时的面积等分线就是凹四边形的面积等分线。事实上，在超级画板中，拖动图9的点使凸四边形变成凹四边形即可。通过上面的做法，细心的读者就会发现，在作四边形的面积等分线时实质是两个步骤：先利用平
6、行线的性质把四边形化成等面积的三角形，作出等面积三角形的中线，再根据具体情形来确定四边形的面积等分线。（2）过四边形边上任意点的面积等分线若不过四边形的顶点，而是在它的边上任取一点，如何来作它面积等分线？我们仍然希望把四边形化成等面积的三角形。 图11图12如图12，是上任意一点，连接，过分别作的平行线与分别交于点，由平行线的性质知=。取的中点，连接。若在上，则即为所求的面积等分线；若在或的延长线上，则可以按照图10的方法作出相应的面积等分线。对于凹四边形边上的任意一点，也是可以类似地作面积等分线，图11、12给出了两种情形的作图方法，图11中=，是的中点；图12中=，是的中点。分别为图11、
7、12中的凹四边形的面积等分线。 图11图12这样，过任意四边形上任意一点都有确定的作图方法作出这个四边形的面积等分线。既然如此，过任意五边形、六边形的边上任意一点，能确定它的面积等分线吗？4.任意多边形的面积等分线三角形、四边形的面积等分线都能做好了，五边形、六边形n边形的面积等分线也能做好。先看看五边形和六边形的面积等分线的做法，基本思想还是将五边形或六边形转换成与它面积相等的三角形。若是作过顶点的面积等分线，对于五边形来说，可以利用平行线的性质直接变成三角形，如图13所示，连接，分别过作的平行线交于，则,作的中点，若在上，则即为所求的面积等分线； 图13图14若在的延长线上，则可按图10的
8、方法处理。对于凹五边形，方法是类似的，如图14.对于六边形，可以先变成四边形，如图15，再按前面的方法将四边形变成三角形，然后根据情况确定它的面积等分线。若是六边形是凹的也可以类似处理。 图15图16若是过五边形边上的一点作面积等分线，如图16，是五边形的边上的一点，连接，分别过作的平行线，与分别交于点，则五边形变成与其等面积的四边形，然后用前面的方法再作四边形的面积等分线即可。对于六边形同样可以类似处理，如图17，则六边形的面积等于五边形的面积，再将五边形转化为三角形。图17图18于是，对于七边形、八边形以及边形都可以按这个方法逐步变成三角形或四边形，然后再作三角形或四边形的面积等分线。这样，任意多边形的面积等分线的作图方法就已经确定。对于引题中的五边形，我们可以过它的边上任意一点作出它的面积等分线，图18给出一种情形：是上的一点，先将五边形化为四边形，再化为三角形，此时的中点落在上，于是即为所求的面积等分线。5
