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1、等腰三角形专题练习题等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛等腰三角形的性质和判定为证明两 个角相等和两条线段相等提供了依据等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是 它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上 的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径.例 1 如图 1-1 , ABC 中，AB=BC, M、N 为 BC 边上两点，且Z bam=Z CAN, mn=an,求Z MAC的度数.练习11 .如图 1-2，已知 ABC 中，AB=AC，AD=AE，Z BAE=
2、30。，则ZDEC 等于（）A. 7 5 B 10 C 12.5 D .18 1-22.如图1-3，AA，、BBZ分别是 ABC的外角Z EAB和Z CBD的平分线，且AA =AB=BB，A、B、C在一直线上，则Z ACB的度数是多少？1-33 如图1-4，等腰三角形 ABC中，AB=BC，/ A=20 D是AB边上的点，且AD=BC, ?连结CD，则Z BDC=1-4例2 如图1-5 ，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，BD?的垂直平分线HE?交AC延长线于点E，那么CE与AD相等吗？试说明理由.练习21 .已知如图1-6，在 ABC中，AB=CD，D是AB上一点，DE丄BC，E为垂
3、足，ED? 的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？1-82 .如图1-7， ABC是等腰直角三角形，Z BAC=90。，点D是厶ABC 一点，且Z DAC= Z DCA=15 ,则BD与BA的大小关系是（）A BDBA B BD ”或“=”或“ ”）1-16例5 已知：如图1-17，ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB, 那么CE是CD的几分之几？练习51 .如图1-18 , D、E分别是等边三角形ABC两边BC、AC上的点，且AE=CD，连结 BE、?AD交于点P 过B作BQ丄AD于Q,请说明BP是PQ的2倍.2.如图 1-19，在 ABC 中
4、，Z BAC=90 , AB=AC, BE 平分Z ABC, CE 丄 BE，那么 CE?是BD的几分之几？1-193 已知：如图1-20，在 ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于H，且AE=BE, 那么AH是BD的倍.答案：例1分析AB=AC, MN=AN可知 ABC和厶AMN均为等腰三角形，充分利用等腰三角形的 性质寻找所求角间的关系.解：设Z BAM=ZCAN= a,Z AMN=B, MN=AN, AZ AMN=ZMAN=B 设Z ABC= Y， 在厶ABC中，Z ABC+Z BCA+ ZCAB=180 ,由于Z BCA= Z CAB=2 a + B, .4 a +2 B +
5、y= 180 . 在厶 ABM 中，B = a + 丫，A 4 a +2 B + (B - a) =180 即 3 (a + B)=180 Aa + B =60。，故 ZMAC=60 往往需要做一些工作，如添加辅助线，构例2分析 要说明似乎没有任何关系的两条线段相等, 造全等三角形等，从而达到解决问题的目的.解：延长AD到F，使AF=EF , ABC是等边三角形，A AB=AC,Z A=60 AEF是等边三角形.A EA=EF, Z AEF= ZA=60。.又J EH垂直平分BD,A EB=ED , Z EBD= Z EDB EAD丝 EFBA AD=BF 又 BF=AF-AB=AE-AC=C
6、E ,A AD=CE 例3分析 要说明一个三角形是等边三角形，？只要能够证明这个三角形满足“三条边相等或三个角相等或一个角是60。的等腰三角形”即可本题只需利用三角形全等证得BM=BN,且ZMBN=60。即可.解：在 ABE和厶DBC中， Z ABE=60 +ZDBE, Z DBC=60 +ZDBE, AZ ABE= Z DBC / AB=BD,BE=EC ABE 9 DBC A AE=DC, Z MEB= Z NCB 1-9又 M、N分别是AE和DC的中点,ME=NC，又 BEC为等边三角形，BE=BC:. MBE8 NBC, BM=B NAZ MBN=Z MBE-Z NBE= Z NBC-
7、Z NBE=60 BMN为等边三角形.?常常采用截取等长线段的例4 分析说明一条线段的长是否等于其他两条线段长的和， 方法，将那些本来没有关系的线段放在条线段上，这样可迎刃而解.解：在BC上截取BF=BE，BD=BA，连结FE、DE，又BE平分Z ABC， AB=AC，Z A=100 ,ZABC=Z C=40 1AZ 1= Z 2=_ Z ABC=20 2/ BF=BE ,Z BEF= Z5=80。.在 BAE 和厶 BDE 中，BA=BD，Z 1= Z 2， BE=BE BAE 9 BDE AE=DE，Z 3= Z A=100 Z 4=180 - Z 3=180 ，Z 4= Z 5，DE=F
8、E，AE=FE 又 Z 6= Z 5- Z C=80 -40 =40 ，Z 6= Z C，: FE=FC 故 AE+BE=FC+BF=BC 例5分析 延长线段到倍长，再证明三角形全等，往往是说明线段倍分关系的重要途径和 必要手段.解：延长CE到F，使EF=CE，连结BF，CE是AB的中线，二AE=EB .又Z FEB= Z AEC，1-17 EBF 9 EAC ,Z EBF= Z A.BF=AC=BD 在厶FBC和厶DBC中，FB=BD， BC=BC Z FBC= Z FBE+ Z EBC =Z A+Z ACB.Z DBC= Z A+Z ACB .Z FBC= Z DBC. bcf 9 BCD
9、.1 CF=CD=2CE，故 CE= CD 2练习11 .解：设 Z DEC=x , AD=AE,AZ ADE= Z AED x=ZAEC-Z ADE= (Z B+30 ) - Z ADE= (Z B+30 ) - (ZC+x ) / AB=AC ,Z B= Z C2x=30 , x=15 ，故选 C 2 .解：J AB=BB,AZ BAB，= Z BB，A,Z B，BD= Z BAB，+ ZBB，A=2 ZBAB 又 Z CBB，= Z DBB，, AZ ACB= Z CBB，+ Z CB，B=3 Z CAB 设Z CAB=x, AZ ACB=3x, Z CBD=4x，又 AA，=AB, A
10、Z A，= Z ABA，= Z CBD=4x / AA，平分Z EAB1AZ A， AB亠(180 -x ).2又Z A，AB=180 - (Z A，+ Z ABA，) =180 -8x1 _ ( 180 -x ) =180 -8x 2 x=12。，故ZACB=36 3 解：如图，作 AED9 BAC，连结EC则 Z AED= Z BAC=20 ,Z DAE=Z ADE= ZB=Z ACB=80 Z CAE= Z DAE- Z BAC=80 -20 =60 又 AB=AE=AC,ACE 是正三角形，AE=EC=ED .Z DEC= Z AEC- Z AED=40 1.Z EDC= ( 180
11、-Z DEC ) =70 2Z BDC=180 - (Z ADE+ Z EDC ) =30 练习 21 .解： AB=AC ,Z B= ZC/ DE 丄BC ,Z DEB= ZFEC=90。.在 Rt DEB 与 Rt FEC 中,VZ B= Z C ,Z BDE= ZF.VZ FDA= Z BDE,Z FDA= Z F，故AD=AF2.解：以 AD为边在 ADB作等边 ADE,连结BE则Z 1= Z 2= Z 3=60 AE=ED=AD.VZ DAC=15 ,Z EAB=90 - Z1- Z DAC=15 Z DAC= Z EAB又V DA=AE, AB=AC, EAB 9 DAC Z EBA= Z DCA=15 Z BEA=180 -Z EBA-ZEAB=150 VZ BED=360 -Z BEA-ZAED=150 Z BEA= Z BED又 V EB=EB , AE=ED BEA 9
