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1、第一讲：集合学生姓名： 班级： 高一 年级科目： 数学（一）集合的有关概念 1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合。 （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。记作N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集。记作N*或N+ （3）整数集：全体整数的集合。记作Z （4）有理数集：全体有理数的集合。记作Q （5）实数集：全体实数的集合。记作R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。 （2）非负整数集内排除0的集。记作N*或N+ 、Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是 这样
2、表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA；（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 注：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q “”的开口方向，不能把aA颠倒过来写。 练习：设B1,2,3,4,5，则5 B，0.5 B， 3 B， -1 B。4、集合中元素的特性（1）确定性： 即和 ，二者必居其一 集合中的元素必须是确定的这就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素 也就确定了例如，给出集合地球上的四大洋，它的元素是：
3、太平洋、大西洋、印度洋、北 冰洋其他对象都不用于这个集合如果说“由接近 的数组成的集合”，这里“接近 的 数”是没有严格标准、比较模糊的概念，它不能构成集合 （2）互异性：若 ， ，则 集合中的元素是互异的这就是说，集合中的元素是不能重复的，集合中相同的元素只能算是一个例如方程 有两个重根 ，其解集只能记为1，不能记为1，1 （3）无序性：a，b和b，a表示同一个集合 集合中的元素是不分顺序的集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（l，0） 和点（0，l）表示不同的两个点，而集合1，0和0，1表示同一个集合 5要辩证理解集合和元素这两个概念（1）集合和元素是两个不同的概念，符号和是
4、表示元素和集合之间关系的，不能用来表示集合之 间的关系例如 的写法就是错误的，而 的写法就是正确的 （2）一些对象一旦组成了集合，那么这个集合的元素就是这些对象的全体，而非个别现象例如对于集合 ，就是指所有不小于0的实数，而不是指“ 可以在不小于0的实数范围内取值”，不是指“ 是不小于0的一个实数或某些实数，”也不是指“ 是不小于0的任一实数值”（3）集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符 合条件 练习题：1、下列各组对象能确定一个集合吗？ （1）所有很大的实数。 （2）好心的人。（3）1，2，2，3，4，5（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元
5、素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。例如，由方程 的所有解组成的集合，可以表示为-1，1注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：51，52，53，100所有正奇数组成的集合：1，3，5，7， （2）a与a不同：a表示一个元素，a表示一个集合，该集合只有一个元素。2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集 合的方法。格式：xA| P（x） 含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。例如，不等式 的解集可以表示为： 或 所有直角三角形的集合可以表示为： 注：何时用列举法？何时用描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难
6、以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。如：集合 （2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。如：集合 ；集合1000以内的质数练习：集合 与集合 是同一个集合吗？（三） 有限集与无限集1、有限集：含有有限个元素的集合。2、无限集：含有无限个元素的集合。3、空集：不含任何元素的集合。记作，如： 练习题：1.用描述法表示下列集合 1，4，7，10，13 -2，-4，-6，-8，-10 2.用列举法表示下列集合 xN|x是15的约数（x，y）|x1，2，y1，2 3.集合Ax|Z，xN，则它的元素是 。 4.已知集合Ax|-3x3，xZ，B(x,y)|
7、yx+1，xA，则集合B用列举法表示是 。 5.若集合，集合，且，则a= ， b= 。（四）集合间的基本关系1. 子集、空集等概念：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：与； 与定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：B A读作：A包含于（is contained in）B，或B包含（contains）A当集合A不包含于集合B时，记作用Venn图表示两个集合间的“包含”关系： 集合相等定义：，则中的元素是一样的，因此.真子集定义：若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集（proper subset）。记作：A B（或B
8、 A）。 读作：A真包含于B（或B真包含A）。空集定义：不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：。并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。填空：1 N， N。 讨论：A与A有何关系？ ，则得出什么结论？2.教学例题：（1）写出集合的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。 （2）已知集合, ，并表示A、B的关系。3. 练习：（1）已知集合Ax|x3x20，B1,2，Cx|x2，Bx|x3，Bx|x6，则AB ，AB 。2.教学例题：例1：设Ax|-1x4或x5，求AB、AB。 例2：设A(x,y)|4xy6，B(x,y)|3x2y7，求AB。3.巩固练习：若-2
9、，2x,10,x,11,4，则x的值 。 已知xR，集合A=-3,x,x1，B=x3，2x1,x1，如果AB=-3，求AB。 已知集合Ax|a-1xa，Bx|0x3，且AB，求a的取值范围。 若A(x,y)|y，B(x,y)|yx1，则AB ；（六）集合的基本运算2-全集与补集1.全集、补集概念及性质： 定义全集（universe set）：含有我们所研究问题中所涉及的所有元素构成的集合，记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。定义补集（complementary set）：已知集合U, 集合AU，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作A相对于U的补集，记作：，读作：“A在U中补集”，
10、即。补集的Venn图表示如右：（说明：补集的概念必须要有全集的限制）练：U=2,3,4，A=4,3，B=，则= ，= ； 练习：设Ux|x8，且xN，Ax|(x-2)(x-4)(x-5)0，则 ； 设U三角形，A锐角三角形，则 。2.教学例题：Ux|x13，且xN，A8的正约数，B12的正约数，求、。3.探究：结合图示分析，下面的一些集合运算基本结论。 ABBA, ABA, ABB, A=; AB=BA, ABA, ABB, A=A; ACA=, ACA=S, C(CA)=A5.巩固练习：1.已知U=xN|x10，A=小于10的正奇数，B=小于11的质数，则CA= 、CB= 。2.已知集合A=0,2,4,6, CA=-1,-3,1,3，CB=-1,0,2，则B= 。（ 解法：Venn图法）3.定义AB=x|xA，且xB，若M=1,2,3,4,5,N=2,4,8，则NM= 。4.设U=R，Ax|1x2，Bx|1x3，求AB、AB、。
