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1、题型强化练4解答题组合练(B) 1.(2020山东泰安三模,18)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos 2A+cos 2B+2sin Asin B=1+cos 2C.(1)求角C.(2)设D为边AB的中点,ABC的面积为2,求CD2的最小值.2.(2020山东烟台一模,18)已知等差数列an的前n项和为Sn,bn是各项均为正数的等比数列,a1=b4,b2=8,b1-3b3=4,是否存在正整数k,使得数列1Sn的前k项和Tk1516,若存在,求出k的最小值;若不存在,说明理由.从S4=20,S3=2a3,3a3-a4=b2这三个条件中任选一个,补充到上面问题中并作答.3.(
2、2020山东德州一模,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD=12AD,E,M分别为棱AD,PD的中点,PACD.(1)证明:平面MCE平面PAB;(2)若二面角P-CD-A的大小为45,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.4.(2020山东济南三模,20)法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人,他每天都会购买一个面包.面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1 000 g,上下浮动不超过50 g.这句话用数学语言来表达就是:每个面包的质量服从期望为1 000 g,标准差为50 g的正态分布.(1)假设面包师的说法是真实的,从面包师出售的面包中任取两个,记
3、取出的两个面包中质量大于1 000 g的个数为,求的分布列和数学期望;(2)作为一个善于思考的数学家,庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录,25天后,得到数据如下表,经计算25个面包总质量为24 468 g.庞加莱购买的25个面包质量的统计数据(单位:g)9819729669921 0101 0089549529699789891 0011 0069579529699819849529599871 0061 000977966尽管上述数据都落在(950,1 050)上,但庞加莱还是认为面包师撒谎,根据所附信息,从概率角度说明理由.附:若XN(,2),从X的取值中随机抽取25个数据,记这25个数
4、据的平均值为Y,则由统计学知识可知:随机变量YN,225;若N(,2),则P(-+)=0.682 7,P(-2+2)=0.954 5,P(-30),则b1=8q,b3=8q,于是8q-38q=4,即6q2+q-2=0,解得q=12,q=-23(舍去).若选:因为b2=8,q=12,则a1=b4=2.又S4=4a1+432d=20,解得d=2.所以Sn=2n+n(n-1)22=n2+n,则1Sn=1n(n+1)=1n-1n+1.于是Tk=1S1+1S2+1Sk=1-12+12-13+1k-1k+1=1-1k+1,令1-1k+11516,解得k15.因为k为正整数,所以k的最小值为16.若选:因为
5、b2=8,q=12,则a1=b4=2.又3a1+322d=2(a1+2d),解得d=2.所以Sn=2n+n(n-1)22=n2+n,则1Sn=1n(n+1)=1n-1n+1.于是Tk=1S1+1S2+1Sk=1-12+12-13+1k-1k+1=1-1k+1,令1-1k+11516,解得k15.因为k为正整数,所以k的最小值为16.若选:因为b2=8,q=12,则a1=b4=2.又3(a1+2d)-(a1+3d)=8,解得d=43.于是Sn=2n+n(n-1)243=23n2+43n,1Sn=321n(n+2)=341n-1n+2,于是Tk=341-13+12-14+1k-1-1k+1+1k-
6、1k+2=341+12-1k+1-1k+2=98-341k+1+1k+2,令Tk1516,得1k+1+1k+20,解得k5+652或k5-652,因为k为正整数,所以k7,即k的最小值为7.3.(1)证明 因为点E为AD的中点,BC=12AD=AE,ADBC,所以四边形ABCE为平行四边形,即ECAB.因为E,M分别为棱AD,PD的中点,所以EMAP.又EMEC=E,APAP=A,所以平面MCE平面PAB.(2)解 如图所示.因为PAAB,PACD,AB与CD为相交直线,所以AP平面ABCD,不妨设AD=2,则BC=CD=12AD=1.以与AD垂直的直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线
7、为z轴建立空间直角坐标系,设AP=h,A(0,0,0),D(0,2,0),C(-1,2,0),P(0,0,h),E(0,1,0),从而PD=(0,2,-h),CD=(1,0,0).设平面PCD的法向量记为m=(x1,y1,z1),则mPD=0,mCD=0,可得2y1-hz1=0,x1=0.令y1=1,则z1=2h,所以m=0,1,2h.又平面ACD的法向量为(0,0,1),二面角P-CD-A的大小为45,所以2h1+4h2=22,解得h=2,则P(0,0,2),所以EC=(-1,1,0),PE=(0,1,-2),AP=(0,0,2).设平面PCE的法向量为n=(x2,y2,z2),则nPE=0
8、,nEC=0,可得y2-2z2=0,-x2+y2=0.令y2=2,则x2=2,z2=1,所以n=(2,2,1).设直线PA与平面PCE所成角为,则sin =|cos |=|APn|AP|n|=292=13.4.解 (1)由题意知,的所有可能取值为0,1,2.P(=0)=C20120122=14;P(=1)=C211212=12;P(=2)=C22122120=14.所以的分布列为:012P141214所以E()=014+112+214=1(个).(2)记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X.假设面包师没有撒谎,则XN(1 000,502).根据附,从X的取值中随机抽取25个数据,记这25个数据的平均值为Y,则YN(1 000,102).庞加莱记录的25个面包质量,相当于从X的取值中随机抽取了25个数据,这25个数据的平均值为Y=24 46825=978.721 000-210=980,由附数据知,P(Y980)=1-0.954 52=0.022 750.05,由附知,事件“Y980”为小概率事件,所以“假设面包师没有撒谎”有误,所以庞加莱认为面包师撒谎.5
