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1、n行m列的方格图中一条对角线所经过的方格有多少？问题：下图是一个3行5列的方格图，图中有一条左下至右上的对角线，这条对角线经过的方格有几个？一般情况下，n行m列的方格图中一条对角线所经过的方格有多少？直观地看，第一行（最下面一行，往上依次是第二行、第三行）对角线经过2个方格，第二行对角线经过3个方格，第三行对角线经过2个方格。所以，图中对角线一共经过2+3+2=7个方格。那么一般情况下，n行m列的方格图中一条对角线所经过的方格有多少呢？我们先通过几个具体例子进行观察分析。1、1行时对角线经过的方格有多少？如图：1行5列的方格图中一条对角线所经过的方格有5个，由此可知，1行m列的方格图中一条对角
2、线所经过的方格有m个。2、2行3列和2行4列的方格图中一条对角线所经过的方格各有多少？ 如上两图，2行3列的方格图中一条对角线所经过的方格有4个，2行4列的方格图中一条对角线所经过的方格也有4个。从两图的对比中可以发现，左图中对角线除两个端点外，其余部分都不经过方格的顶点，而右图中对角线除两个端点外，还经过方格的一个顶点。即右图中对角线所经过的方格数可以看作是两个1行2列的方格图中一条对角线所经过的方格数的和。通过对上面几个具体例子的观察和分析，我们可以对n行m列的方格图中一条对角线所经过的方格数有多少做出以下推导说明。1、当n和m是互质数时，方格图中的一条对角线除两个端点外，其余部分都不经过
3、方格的顶点，如若不然，则对角线所经过的方格可以如上面右图黑框所示，分成相同的几个部分，这样的话则n和m不是互质数。所以，当n和m是互质数时，方格图中的一条对角线除两个端点外，其余部分都不经过方格的顶点。我们可以把对角线在每一行的部分都垂直投影在第一行的底线上，显然对角线的投影就是第一行的底线，即对角线的投影经过第一行的每一格，共m个方格。每一行投影的长度都是，且不是整数，这样相邻两行对角线的投影相接处分别都在某一个方格内，而不在方格的竖边上。投影相接处虽在同一个方格内，而对角线相接部分却分属于相邻两行的两个不同方格。n行m列的方格图中一条对角线在第一行的投影相接处共有n-1个，所以，n行m列的方格图中一条对角线所经过的方格数是m+ n-1。2、当n和m不是互质数时，方格图中的一条对角线除两个端点外，还经过某些方格的顶点，如上右图所示。具体来说，当n和m的最大公约数是d时，n行m列的方格图中的一条对角线可以分成相等的d段，而每一段的方格图恰好是行列。因为d是n和m的最大公约数，所以和都是整数而且互质。这样按照前面的分析，行列的方格图中一条对角线所经过的方格数是+-1。而n行m列的方格图中的一条对角线可以分成相等的d段，所以n行m列方格图中一条对角线所经过的方格数是（+-1）d=m+ n- d。二一二年十二月二十五日
