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1、浅谈数学教学题后反思澧县复兴厂镇中学 骆兴华在积极推行素质教育和新课程标准的今天，强化学生进行题后反思，是提升学生数学思维能力的一条行之有效的方法，许多一线的数学教者对此深有体会，也被很多教育学者所推崇。“习题是数学的心脏（美国P.R.Halmos）”,而“反思是数学思维活动的核心和动力，没有反思，学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平（荷兰H.Freudenthal）”。但如数学教育家G.Polya说的：“即使是相当优秀的学生，在得到了题目的解答，并将整个论证简洁地写下来后，也会合上书，去找别的事情做。”因此，在日常教学中，教师应当将这种反思的思想渗透到解题的每个环节里去，使学生逐步养
2、成题后反思的习惯。1、反思分析过程，发掘隐含条件对题目条件的分析是解题的第一个步骤，其中的隐含条件，由于本身的非显性特征，不易被学生所注意，往往导致解答的错误，引导学生反思条件的完整性，充分发掘隐含条件，对培养学生思维的严谨性和深刻性有着积极的作用。现举例说明：例1：已知关于的一元二次方程的一次项系数为0，试确定的值。误解：将方程化为一般形式为：一次项系数为0. . 解得：.分析：事实上，既然原方程是一元二次方程，则二次项系数k-30，解得：k3，当一次项系数为0时，k=3，二者综合：k=-3.二次项系数是含有字母的参数时，很多学生很容易忽略它的取值范围，因而会得出错误的结论，其原因就是急于解
3、题，缺乏对条件的深入分析。例2：当a取什么值时，函数是反比例函数？错解：根据反比例函数的定义，得a2-2=-1，解得a1=1，a2=-1；错因分析：根据反比例函数定义可知，反比例函数y=（或）必须具备k0这一条件，所以本题中a不但要满足，还要满足a+10这一条件。正解：根据题意，得：由（1）得，a 1=1，a 2=-1；由（2）得，a-1，所以当a=1时，函数是反比例函数。2、反思解题方法，寻求“一题多解”与“多题一解”“一题多解”的合理应用，许多老师领会了这种方法的重要性，只是老师认清这一点还不够，还应该让学生明白，教学中应强调“一题多解”的目的是理清方法之间的关系，加深对问题的理解，找出那
4、些能“多题一解”的方法。例3：（2005.武汉市中考题）已知二次函数的图象交x轴于A(x1,0),B(x2,0) 两点，x1x2 ，交y轴的负半轴于点C，且AB=3，tanBAC- tanABC=1.（1）求二次函数的解析式；（2）在第一象限，抛物线上是否存在点P，使SPAC=6，若存在，说明理由。（1）解：AB=3，x1x2，x2-x1=3，由根与系数的关系有x1+x2=1，x1=-1，x2=2，OA=1，OB=2，x1x2=-2，tanBAC- tanABC=1，OC=2，m=-2，a=1此二次函数的解析式为y=x2-x-2. （2）在第一象限，抛物线上存在点P，使SPAC=6. y xo
5、 A PCM N B解法一：过点P作直线MNAC，交x轴于点M，交y轴于点N，连接PA、PC、MC，如图：MNAC，SMAC=SNAC=SPAC=6.由（1）有OA=1，OC=2，AM=6，CN=12，M（5，0），N（0，10）直线MN的解析式为y=-2x+10.由得，（舍去）在第一象限，抛物线上存在点P（3，4），使SPAC=6解法二：设AP与y轴交于点D（0，m）（m0）直线AP的解析式y=mx+m。由 x2-（m+1）x-m-2=0.xA+xP=m+1，xP=m+2.又SAPC= SADC +SPDC=CDAD+CDxP=CD（AO+xP），（m+2）（1+m+2）=6，m2+5m-6
6、=0， m=-6（舍去）或m=1.在第一象限，抛物线上存在点P（3，4），使SPAC=6.3、反思解题过程，注重等价推导问题的解答是一个由条件推导出结论的过程，在这个过程中必须注意推导的等价性，否则容易出现条件的缺失。确保每步推导的等价性不仅要求学生有较深厚的数学功底，还要求解题时特别细致、规范，教学时，老师应强调常规解法的重要性，因为这是千锤百炼总结出来的方法，安全性更高。例如：若二次函数y=mx2+4x+m-1的最小值为2，则m的值是 。常规解法是当m0时抛物线开口向上，有最小值，又a=m,b=4,c=m-1, ,即m2-3m-4=0，解得m=4或m=-1，m=4，但有的同学为了省事，忽略
7、了a0这一条件，由此错误得出m=4或m=-1，忽略了推导的等价性。4、反思解题结果，完善问题解答对结果的反思不仅仅是检查正误，重点是培养学生质疑的习惯。有时我们可以通过“一题多解”来检验结果，而有时则需要做进一步的研究，这对学生批判精神和创新意识的培养大有好处。下面这道题的引深过程，让我记忆犹新。例4：现行义务教育课程标准实验教科书数学（九年级下册）（湖南教育出版社）P112.B组第2题：如图3-95，在锐角三角形中ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，外接圆的半径为R.求证：.证明：过B点作直径BD，连结CD.ABCDabcOBD为直径，BCD=90，又A=D同理可证： 本题作直径，得到一
8、个直角三角形，利用三角函数即证，证法比较简洁。实际上这也就是正弦定理及其证明。虽然现行教材上没有明确正弦定理名称及其应用，但笔者在讲完这个题目后向学生明确了这个定理及其应用的重要性。但接下来就有同学提出疑问：题目所给范围是在“锐角三角形中”结论成立，通过作直径构造一个直角三角形获证，很显然在直角三角形中结论也成立，但在钝角三角形中结论是否也依然成立呢？我们继续探究，将范围换成“在钝角三角形中”的情况：如图：在ABC中，BAC是钝角.过A点作直径AD，连结BD.ABCDabcOAD是直径，ABD=90，又ACB=ADB连结CD，同理可证：在四边形ABDC中，ABD=ACD=90BAC+BDC=9
9、0，BAC90BDC90，很显然BDC是锐角三角形.由前面证明可知：，但是否等于2R呢？也就是sinBDC的值是否等于sinBAC的值呢？问题就转化为：如果A+B=180，sinA是否等于sinB呢？这就涉及到求钝角三角函数的问题，钝角三角函数的求法在现行初中教材中没有提及，到高中后才系统介绍。“要知具体解法如何，且到高中分解”，抓住机会，给学生留下一个悬念，以此激发学生积极、继续学好数学的兴趣。实际上：若A+B=180，sinA=sinB，即，也就是正弦定理对任何三角形都适用，对角的范围进行拓展后，在很多题目中应用很方便。5、反思条件与结论，探索更一般的方法和结论问题的解答反映了条件与结论间
10、的因果关系，当我们减弱条件或加强结论时，就将原问题推广到更一般的情形，而从一个更高、更广的角度来认知所用的方法和所得的结论。这对学生数学思维和认知能力的提升是有很大帮助的。例5：已知直线l1：y=k1x+b1与直线l2：y=k2x+b2平行，则k1与k2、b1与b2有何关系？解：l1l2，两直线斜率相等，即k1=k2，但两直线在y轴上的截距不等，即b1b2.结论很简单，但如果我们将条件改成若干条直线相互平行，结论又怎样呢？结论依然是k1=k2=kn，b1b2bn.我们把这若干条直线称之为一簇，这无数条直线具有共同的特征。以此拓展学生的思维，开阔学生的视野。例6：现行义务教育课程标准实验教科书数
11、学（九年级上册）（湖南教育出版社）P27.练习第2题：经过调查研究，某工厂生产一种产品的总利润L（元）与销售价格P（元/件）的关系式为：L=-4P2+1360P-93200，100P245.（1） 销售价格P定为多少时，可以使总利润达到22400元？（2） 总利润可不可能达到22500元？解：（1）解方程：-4P2+1360P-93200=22400，解得P=170（元/件）；（2）解方程：-4P2+1360P-93200=22500，此时0，方程无实数解，因此总利润不可能达到22500元。例7：现行义务教育课程标准实验教科书数学（九年级上册）（湖南教育出版社）P28.B组第3题：用长8m的铝
12、材，做一个日字形窗框，如图.问：（1）高和宽各为多少米时，窗户的透光面积为m2？（2）可不可能使窗户的透光面积为2.7m2?解：（1）设窗框宽为xm，则长为（8-3x）m，根据题意有：（8-3x）x=，解得x=,即宽为m，则高为2米.（2）解方程：（8-3x）x=2.7，化简得：3x2-8x+54=0，此时0，方程无实数解，因此不能使窗户的透光面积为2.7m2.这两个习题是学完一元二次方程后留给学生的，学生也只能通过解方程来寻求答案。但九年级下册学完二次函数后，教师应反过来引导学生探究如下问题：例6、例7中，最大利润是多少？窗户的最大透光面积又是多少？由此说明为何最大利润不能达到22500元？
13、最大透光面积不能是2.7m2？设利润为L，则L=-4P2+1360P-93200=-4（P-170）2+22400，易知当P=170(元/件)时，Lmax=22400元；设面积为S，则S=（8-3x）x=-x2+4x=-（x-）2+，易知当x=时，Smax=，因此，最大利润为22400元，而不能达到22500元，窗户最大透光面积为m2，而不能为2.7m2.这说明通过二次函数求最值比用判别式判别方程无实数解求最值，直接得多，明了得多，学生也容易接受。通过对结论扩充归纳后，学生领会到了一元二次方程与二次函数的密切联系。实际上，一元二次方程是二次函数y=0的一种特殊形式，一元二次方程无实数解就意味着相对应的抛物线与X轴没有交点。如此引导学生探究后，究竟“为何方程无实数解，最大利润就不能达到22500元、窗户最大透光面积就不能是2.7m2”，这一存在学生心中的谜团被彻底解开了。这也从一个侧面说明了加强书本知识体系的前后贯通，促进学生学会加强知识内部联系，学会归纳总结的极端重要性。
