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1、从一道中考题谈几何教学中的基本图形.从一道中考题谈几何教课中的“基本图形”上海师范大学隶属外国语中学苏有马很多同学在学习数学时都有一种感觉：数学知识越学越多，有时反而不知道用什么方法去解决了；或许有时碰到一个问题百思不得其解，一经他人点拨就马上豁然爽朗、茅塞顿开，才知这样简单。特别是对于进入初三的同学，这类感觉更是明显。有很多同学一碰到综合性题目就会“惊慌失措”，不知从何下手，但经老师剖析后，他也能很快予以解决。笔者以为，造成这类结果有主客观两方面原由。（一）客观方面数学题型多变，特别是几何图形变化多端，同一个知识点查核方法各不同样，仿佛捉摸不透；另一个客观原由是因为知识储存愈来愈多，有时没法
2、很快做出选择，或举棋不定、或几种方法牵扯不清，解题思路不清楚。（二）主观方面很多同学缺少对知识进行必需的概括总结，遇一题、解一题，“就题论题”，不可以找到各个问题间的内在联系。自然最为重要的一个原由在于“心中无题，没有自信”，缺少敏锐的察看力。不可以从复杂的图形中分解出自己所熟知的基本题型和基本图形，各个击破，逐个解决也是很多同学的困难所在。总之，如何真实实现由“数学知识”向“数学能力”转变，才是数学教课的重点所在。如上海市2005年中考数学试卷最后一题：0O为在ABC中，ABC=90，AB=4，BC=3，O是边AC上的一个动点，以点圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EPED
3、，交射线AB于点P，交射线CB于F。（1）如图1，求证：ADEAEP；（2）设OA=x，AP=y,求y对于x的函数分析式，并写出它的定义域；（3）当BF=1时，求线段AP的长。FBBPDCACAEO备用图图1本题题目较长，图形复杂，看似较难。可是假如我们将其分解成若干个基本题型或基本图形，逐个解决，就变得简单多了。并且大部分同学在平常的学习中对以下基本图形都已经相当熟习了。基本图形（1）：直角三角形（勾股定理），在RtABCBO中，ABC=90，AB=4，BC=3，易得AC=5，即ABC独一CA确立。(1)1基本图形（2）：圆与切线（切线性质定理）半圆O与DAD相切于点D，若连结OD（也必然要
4、连结OD），则必定有EOAODAD建立。(2)P基本图形（3）：有一个公共角的两个相像三角形（相D似三角形判断），已知有一对角相等，由等边平等角和等式EOA性质，易得ADEAEP。(3)基本图形（4）：相像三角形三边对应关系（相像三角形BD性质定理），已知OA=x，需用x表示其余有关线段，明显，ODCB，ODOA即ODx,得OD3x,同理AD4x，易证CABCCA3555O第（2）问。自然也能够运用相像或锐角三角比（4）基本图形（5）：对顶直角三角形（有一对非直角的对顶F角的两个直角三角形必定相像），易得BPFEPD，因此BBPBFBPPE，由第（）问得PE2，因此BP=2BF。P,即PEED
5、BFED1DE1PD可求第（3）问。(5)E基本图形（6）：“平角上剪去一个直角”，因为0OPED=90，CEA=180，因此1+2=90，2=APED=BPF，而BPF+F=900，由等角的余角相等得12F=FEC，因此CF=CE，可求得AE，即求得x，CEA由函数分析式进而得出y值（即AP的长）。(6)如何才能从这样复杂的图形中找出这些“实用的”基本图形，是一个提及来简单，但做起来仍是比较难的问题。因此说如何帮助同学在平常的学习中掌握科学的学习方法，培育学生对一些基本题型和基本图形的敏锐察看力（也就是借给学生一双“数学慧眼”）就显得尤其重要。笔者向来以来，在每学习一部分课本内容后都试试以“
6、专题讲座”的教课模式，指引学生自主研究，自我总结，自我提升。经过各个专题的学习，娴熟掌握一些重要的基本图形和基本题型。学会从一个复杂的图形中找出它所包括的基本图形，并实现问题的合理转变和知识的正迁徙。在研究过程中，学生能够掌握一些数学基本研究方法和数学思想模式。使学生感觉“数学题目万变不离其宗”，自然会做到“脑中有题（图），心不慌”。下边以圆与直角梯形专题为例，介绍一下如何展开基本图形教课。一、基本图形的介绍基本图形1：以直角梯形的一条垂直于底边的腰为直径作半圆且与另一腰相切如图：已知四边形0AABCD是梯形，ADBC，C=90，DC是O的直径，且O切AB于点E。察看此图，你能够得出哪些结E2
7、1论？（可增添协助线）34第一老师揭露图形特点“圆与直角梯形”（即研究对象），并结论开放。一方面锻炼学生的猜想能力，另一方面使学生掌BF握一些常有协助线作法，并且自己发现的结论会更简单理解，更简单记忆。DOC2学生积极讲话，依据增添协助线状况，能够获得以下五类结论：（一）不添线：（1）AD=AE（2）BE=BC（3）AB=AD+BC0（二）连结OE：（4）OEAB（OEA=90）（三）（连结OA、OB：（5）RtADORtAEO（6）RtBEORtBCO（7）1=2，3=4（8）2+3=900（AOBO）（9）RtADORtOCB（10）2OD=ADBC（四）连结0DE、CE：（11）DEEC
8、（DEC=90）（五）过点222A作AFBC，垂足为F：（12）AB=AF+BF（此中AF=DC，BF=BC-AD）在整个研究过程中，完整任由学生的思想发散。让学生经过研究，发现一个看似简单的图形本来能够得出这么多的结论。没有发现的同学也会不自觉地接受了其余同学剖析问题的方法和常有协助线作法。这样以来，学生再一次看到知足此特点的基本图形就马上能够获得以上有关结论。基本图形2：以直角梯形不垂直于底边的腰为直径作圆与另一腰相切。是将基本图形1稍作改动，学生经过研究同基本图形1同样能够得出四类结论。（一）连结OE：（1）OEDC（2）OEADBC（3）DE=EC（4）OE是梯形ABCD的中位线，即O
9、E=1（AD+BC）（5）AB=2EO=AD+BE2AD0（二）连结AE、BE：（6）AEB=90（7）ADEECBOE2（8）DE=ADBC（三）连结OD、OE：（9）OE垂直均分线段DC（即OD=OC）BFC222（四）过点A作AFBC，垂足为F：（10）AB=AF+BF（此中AB=AD+BC，BF=BC-AD）自然，在这两个基本图形中又隐含了多个其余基本图形，一旦发现就能够实现基本图形间的整合和转变。二、基本图形比较不单从同样的“圆与直角梯形”中找出不一样点：条件不一样点：基本图形1是以垂直于底边的腰为直径作圆；基本图形2则是以不垂直于底边的腰为直径作圆结论不一样点：基本图形1中圆与两底
10、相切，但基本图形2不建立；基本图形2中圆心与切点的连线是梯形的中位线，但基本图形1不建立又能够从不一样的基本图形中找出同样之处：特点同样点：圆与直角梯形，都是以一腰为直径且与另一腰相切结论同样点：两个基本图形都有AB=AD+BC建立经过对两个基本图形进行对照研究，增强对基本图形特点的记忆和理解。三、基本图形的运用运用（一）：直接运用研究成就0例、在梯形ABCD中，ADBC，BCD=90，以CD为直径的半圆O切AB于点E，2，求半圆O的半径长AD这个梯形的面积为21CM，周长为20CM剖析：（1）从已知条件出发：S梯(ADBC)CD21EO2C梯2(ADBC)CD20BFC3（2）从未知条件出发
11、：求半径r（3）找等量关系，列方程组(ADBC)r21解得ADBC3或(ADBC)r20r7ADBC7r3（4）结论弃取：过点A作AFBC，垂足为F，ABAF，即一定知足ADBC2r，因此求得r=3cm。运用（二）：从复杂图形中分解出基本图形例、在矩形ABCD中，以AB为直径作半圆O，E是BC的中点，若DE是半圆O的切线，切点为F，试求AD的值。ABDC剖析：四边形ABED是直角梯形，知足基本图形1，FE利用研究结论能够求解；或利用圆的切线长定理转变到RtDCE中利用勾股定理可求AD的值。AOBAB运用（三）：联系基本图形，代数与几何知识的综合运用例、如图，已知直线MN和O切于点C，AB是O的直径，AEMN，BFMN，垂足分别为E、F，设AE=m，EF=p，BF=nB（1）求证：p2=4mnO（2）求证：EC、FC的长是方程x2pxmn0的两个根AG剖析：利用基本图形2，连结OC、AC、BC，CFN可利用AECCFB证明；也能够过ME点A作AGBF，在RtABG中利用勾股定理证明。
