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1、第三章 静磁场3.1 对均匀磁场,构建两个满足规范条件的矢势,并证明二者之差的旋度为零.【解】 取直角坐标(),不妨设,则可构建如下两个矢势:,满足题设条件.显然二者之差的旋度为零:.3.2 证明对任何局域电流分布所产生的磁场,具有如下性质:当全部电流位于某球体之内,则在该球体内的体积分等于,为局域电流分布的磁矩;当全部电流位于球体之外,则相应磁场体积分等于球心磁场和球体体积的乘积.(参见2.3题的提示.)【证】 不妨设球半径为,取球心为坐标原点,则.代入矢势的表达式得.利用提示的积分公式,对全部电流位于球体之内,即的情况有;对全部电流位于球体之外,即的情况有,证毕.3.3 半径为的圆柱壳的轴
2、向面密度为(和为常数),求柱内外磁场分布.【解】 本题属于圆柱坐标()下的二维二分量问题,矢势只有分量,且与无关:.在圆柱内外,均满足拉普拉斯方程,可用分离变数法求解.考虑到圆柱表面电流的特殊分布形式,尝试将圆柱内、外的解分别写为, .由处的边值关系, ,得,.从上述关系式可以解得,从而最终求得圆柱内外的矢势和磁场分布:,.3.4 电荷和物质均匀分布的球以角速度自转,其半径为,电量为,质量为,求它的磁矩和角动量,以及二者的比值.【解】 取球坐标,极轴沿自转轴方向,球内电流密度为.由对称性,磁矩只有分量(沿自转角速度方向),数值为.球的转动惯量为,角动量为,也沿角速度方向.于是磁矩和角动量的比值
3、为.3.5 从毕奥沙伐尔定律出发,证明电流强度为的闭合线圈的磁场可表为式中为线圈相对考察点所张的立体角,为以线圈为边界的任意曲面.当线圈法向背离考察点时,上述立体角为正,指向考察点时, 上述立体角为负;线圈法向与电流方向之间满足右手定则.【证】 由毕奥沙伐尔定律得.上式右边第二项的被积式等于,其面积分消失;第一项化为,证毕.3.6 设铁磁体的磁化规律为,式中和为常量.计算由该铁磁体制成的半径为的球内外的磁感应强度.【解】 用磁标势方法求解.注意到铁磁体的固有磁化强度均匀,对应的磁荷只分布于球表面.因此,球内外的磁标势均满足拉普拉斯方程.采用球坐标(),极轴沿方向,尝试写下球内外的解如下:, ,
4、式中系数由球面上的边值关系,确定.将尝试解代入上述边值关系得,据此定出.代入和的表达式得,式中为常数.由上述磁标势求得磁场强度,从而最终求得球内外的磁场分布如下:,.3.7 设半无限理想导体内初始磁场为零,导体表面为平面.外部为真空.将电流固定为、面积为的小载流线圈从无穷远移至该平面上方,高度为,求下列两种情况下外力做功:(1)线圈平面与导体平面平行;(2)线圈平面与导体平面交角为45.(提示:按相对导体平面成镜像关系置放反向电流线圈,然后求力、求功.)【解】 载流线圈的磁矩为.对线圈平面与导体平面平行的情况,载流线圈磁矩与镜像线圈的磁矩反向,二者均垂直于导体平面. 对线圈平面与导体平面交角为
5、45的情况,载流线圈磁矩与镜像线圈的磁矩彼此垂直,与导体平面法向的夹角分别为45和135.先来计算两磁矩之间的相互作用力.设磁矩分别为和,坐标原点取在所在位置,计算所受的磁力.由产生的磁场为,据此求得所受的磁力为.下面计算外界克服磁力做功.取轴与导体平面重合,轴垂直导体平面.设线圈沿轴自无限远向导体运动,当线圈坐标为时,上述磁力公式化为(取).对线圈平面与导体平面平行的情况,有ey,得,从而在将线圈沿轴自无限远移至的过程中,外界克服磁力所做的功等于.对线圈平面与导体平面交角为45的情况,有,相应外界克服磁力所做的功等于.第四章 电磁波的传播4.1 设两平面电磁波的电矢量分别表示为如下复数形式:
6、,分析它们的偏振特性.【解】 两平面电磁波的偏振度分别为,前者为左旋圆偏振波,后者为右旋圆偏振波.4.2 两相距的无限平面将介质1、2和3分开,磁导率同为,折射率分别为、和.频率为的平面电磁波从介质1垂直入射,依次进入介质2和3,并在两个界面上发生反射和折射.(1)计算反射系数(针对1侧的反射波)和透射系数(针对3侧的透射波),验证二者之和为1.(提示:分别写下介质1中的入射波和反射波,介质2中的透射波和反射波,以及介质3中的透射波的复数形式,列出两个界面上的边值关系并求解各反射波和透射波.)(2)设介质1为某光学系统（例如透镜）,介质2为系统表面一层镀膜,介质3为空气（）.为保证电磁波在光学
7、系统和镀膜间的界面上不出现任何反射,和应满足什么条件？E1rH1rk1rk1iE1iH1i习题42n1H3n3k3E3n2k2rk2iH2rH2iE2rE2i【解】 按附图标出介质1和2中的入射波和反射波,介质3中的透射波,图中规定电场的正向垂直指向纸面,磁场的正向由()的右手正交关系确定,各区电场和磁场的复数形式规定如下:, ,式中;,.按题意,介质1中的入射波给定,下面根据边值关系确定其他波的振幅.设介质1、2的界面位于,则介质2、3的界面位于.在这两个界面上的边值关系分别为,其中关于磁场强度切向分量连续的式子可转化为.以上关于电场切向分量的方程一共4个,待求量()也是4个,解唯一存在.结
8、果为,.(1)由上述结果立刻求得反射系数和透射系数:,.容易验证.(2)为使,要求由第一个等式,要求,或;由第二个等式,要求.4.3 对无限电介质平面的电磁波的反射和折射问题,当入射波电场与入射面垂直时,成立,式中、和分别为入射波、反射波和折射波的电场强度,和为介电常数,和为入射角和折射角.(1)计算能流密度、和,证明,为界面法向矢量.(2)确定反射系数.【解】 (1)能流密度分别为,.式中为切向单位矢量.于是有,证毕.(2)反射系数为.4.4 已知海水介电常数为,磁导率为,电导率为1Sm-1.对频率为50Hz的电磁波,证明良导体近似满足,并计算该电磁波在海水中的透入深度.【解】 由题给海水电
9、磁性能参数得,满足良导体近似.此时电磁波在海水中的透入深度为.4.5 设微波炉使用的电磁波频率为2.5 GHz(1GHz=109 Hz),食品的介电常数为,电导率为Sm-1,计算比值,回答是否可使用良导体近似并确定电磁波透入食品的深度. 【解】 由题给食品电磁性能参数得,不满足良导体近似.电磁波在食品中的透入深度为,据此求得= 0.019 m = 1.9 cm.4.6 证明电磁波透入良导体表面单位面积的能流等于导体表面单位面积的平均损耗功率.【证】 设金属导体占据半空间.在良导体近似下,进入金属中的电磁波的电矢量近似为().由表面进入金属的能流为金属的焦耳功率密度为.因此,导体表面单位面积的平
10、均损耗功率为,正好等于由表面进入金属的能流,证毕.4.7 如附图所示的波导管,截面为直角三角形,两直角边边长同为,管壁可视为理想导体.确定可能传播的波模及下截止频率.【解】 采用直角坐标下的分离变数法求解,取,其中幅度因子的任一个分量存在如下形式的分离变数解:,.需要满足的边界条件如下:,.除开边界之外,易求得满足全部其余边界条件的解为为满足边界上切向电场为零的条件,要求,据此推出, 为正整数;最后,由条件得,即为横电波,波模为TEn.对给定的波频率和正整数,波数为.为保证为实数,要求;取,求得波导管的下截止频率为.4.8 对边长为和的矩形截面波导管,频率为（大于截止频率）、幅度为的TE10波
11、沿波导管传播,管壁材料的电导率为,求单位长度波导管的平均耗散功率.【解】 对TE10波有,.良导体单位面积表面平均耗散功率为,式中为表面外侧切向磁场强度.在和两壁,成立,过()对积分,然后加倍,求得上述两壁单位长度的耗散功率为.在和两壁,成立,过()对积分,然后加倍,求得上述两壁单位长度的耗散功率为.最终求得单位长度波导管的平均耗散功率为.21图3.33.3 半径为a的长直圆柱导体，均匀地沿轴方向通过恒定电流I，导体的磁导率为1，周围介质的磁导率为2，如图3.3所示。试求矢势（提示：可用柱坐标求解）。【解】由 沿方向，也会沿方向，且电流是轴对称分布，则，可用柱坐标求解。由 代入得 方程的解为：
12、 由边值关系： 在柱坐标下，由上第二个边值关系得： 再由第一个边值关系得 将c3和c4代入A1、A2中，再用，最后得 3.9 两个共轴的圆形电流线圈，半径分别为a和b，而且，通过电流分别为Ia和Ib，两线圈平面相互平行，其圆心相距，如图3.9所示。求相互作用能、互感系数和相互作用力。xaIay0RbdzIb图3.9【解】由相互作用磁能 因为，所以计算比较方便。 电流的磁偶极矩在远处产生的矢势为： , 其中 电流沿方向， 于是得 又都是不变量互感系数为 是排斥力，方向沿4.1 考虑麦克斯韦方程组的一个可能解，其中和分别为矢量势和标量势。设为常数，试给出真空中自由空间的麦克斯韦方程组对的约束。【解
13、】已知与可得 真空中自由空间的麦克斯韦方程组为： （1），（2），（3） （4） 将、代入（1）、（2）式对,不产生约束。 由，得， 由，得， 故对,的约束为：4.9 已知一中空铜盒的尺寸如图4.9所示。（a）在的波段中有多少个电磁波模式？（b）求出波长。（c）求（a）中几个模式的电场。（d）在波段中大约有多少波模？123xyzaboc图4.9【解】（a）在该谐振腔中，驻波模式（m, n, p）的波长为 因为，所以因为m, n, p为0或正整数；且，即不能有两个为0的模式。于是，当p=0时，m=1、n=3或m=2、n=1满足不等式；当m=0时，n=1、p=1满足不等式；当n=0时，m=1、p=1满足不等式。有四种谐振波模式：（1，3，0），（2，1，0），（0，1，1），（1，0，1）（b）波长依次为，实际上只有两种波长。（c）因为,.,.所以模式 （d）若，则 这表示一个椭球壳，其体积为 而每个模式占个单元，故在给定的波长范围内，约有个波型。17
