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1、高等数学中不等式的证明方法张 昊(南京邮电大学吴江职业技术学院基础课部，江苏吴江215200)摘 要：不等式的证明在高等数学通用教材中较多本文就不等式的证明归纳出了一些方法和基本思路关键词：高等教学 不等式证明 基本方法不等式证明是高等数学中的常见问题在各类考试中经常出现。证明不等式没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强，因此不等式证明题历来是学生最感到困惑的问题之一。但它也有一些基本的常用方法。我们要熟练掌握不等式的证明技巧就必须了解这些基本方法。1利用微分中值公式证明不等式中值定理特别是拉格朗日中值定理和柯西中值定理在不等式的证明中有着重要作用，通过对不等式结构的分析，构造某特定
2、区间上的函数，满足定理的条件，达到证明的目的。其基本思想是：(1)根据题目给定的不等式，选取一个适当的辅助函数f(x)和区问a，b；(2)当函数f(x)在区间a，b上满足中值定理的条件，利用中值公式；(3)利用得到的公式结合题设条件，对写出的公式进行适当的变化得到所证不等式。复数z=x+iv甘坐标平面上的点p(x，Y)。这样学生会将复数z、R中的有序实数对(X，Y)、坐标平面上的点P(X，Y)视为同义语，把复数集、平面点集、二维空间R的子集看成一回事。由z一(x，v)，复变函数f(z)可看成关于x和Y的函数，其极限定义可与实二元函数的极限定义比较。而实二元函数又是在多元微分学中讲过，学生较为熟
3、悉，这样进行比较，可加深学生对复变函数极限念的进一步认识和理解。通过比较，可以发现复变函数的极限定义与实二元函数极限定义相似成分较之实一元函数要多一些似乎完全相似，不同的地方主要是一个复变函数确定两个实二元函数，复变函数的极限存在与否取决于两个实二元函数极限的存在与否。两个实二元函数的极限都存在才称复变函数的极限存在。2导数概念的类比在微分学中，对一元函数的导数是这样定义的：设函数Y=f(x)在点xn的某一邻域内有定义(包括X 点)，当自变量x在X 处有增量x时，相应的函数有增量，Ay=fix +Ax)一f(x )，当xou，比值的极限lim ： ! J存在， 称此极限为函数v：fAx Ax(
4、x)在x 处的导数，记为f (xn)。复变函数的导数定义为：设函数w=f(z)在区域D内有定义，给自变量ZD以增量Az=Ax+iAy，相应的，函数有增量Aw=f(z+Az)一f(z)，如果当z以任何方式趋近于零时，比值的极限li ! !n十 ! lI J存在， 称此极限为函Ax AX数f(z)在点z的导数，记为f (z)。在讲解时，注意新旧知识的对比，这样，既复习了旧知识，又为顺利接受新知识打开了大门。(二)激发学生的学习兴趣，充分调动学生的学习积极性把一些抽象的概念形象化，举出实例来刺激学生的学习兴趣。例如：单连域、多连域的概念：一个区域B，如果在其中任作一条简单闭曲线，而曲线的内部总属于B
5、，就称为单连域。一个区域如果不是单连域就称为多连域。为了帮助学生理解这两个抽象的概念可以举一个这样的例子：单连域好比一张完整无缺的报纸而多连域则好比是这张报纸被剪了若十个洞。这样，学生会很轻松地理解这两个概念。在课堂教学中教师可结合所授内容特点介绍一些数学史。数学理论的演变过程是一个让人很感兴趣的历史，从中可以再现数学大师们的思考问题的方式，看到他们是如何探索真理的，从而启发学生怎样去思考问题。(三)培养学生自学的能力复变函数作为数学分析在复数域的延拓，在知识结构、理论体系、研究方法等方面，二者都紧密相关。学生经过数学分析的完整学习，方nJ具备相当扎实的函数论知识，并具备一定的自学能力。因此，
6、依据自主探索学习的基本理论，结合目前的教学现状在复变函数教学中教师可适合安排一定的教学内容让学生进行自主探索学习， 以便收到更好的教学效果同时也便于不断提高学生自主探究、自我建构知识的能力。例如，“复数”这节的内容大部分学生在中学阶段都学过，“复平面上的点集” 的内容与数学分析中平面点集的内容几乎是一样的，再讲这些内容，既浪费时间学生听起来也不会感兴趣。如果让学生自学，然后教师提出一些问题让学生去讨论，去思考，他们会更集中精力去钻研，从而收到更好的学习效果并不断地提高自学能力。在课堂上我们应坚持“教师是主导，学生是主体”的教学原则，让学生在教师帮助下逐渐消化、理解知识，引导学生对所学知识进行概
7、括与总结，培养学生驾驭知识的能力，让学生将知识不断地经过自己头脑的分析、综合变成自己可以运用自如的知识体系。教师可以利用章节的小结、习题课等形式训练学生对同一问题从不同的路径和方向去思考，多角度多方向去观察，尽量探索出多种解法，让学生变“被动学习”为“主动学习”从而掌握学习的主动性并逐步培养学生一定的自学能力和提出问题、分析问题、解决问题的综合能力。三、努力提高教学质量复变函数的教学过程是一个不断摸索的开发过程，教师需要具备扎实的专业知识背景，在此基础上教学手段的多样化，教学内容的兴趣化，以及教学器材的现代化都是提高教学效果的手段。只有充分调动教师的聪明才智、调动广大学生的积极性和创造性，才能
8、够取得更好的教学效果。教学中教师应注意把教书和育人融为一体。教师首先要以身作则，为人师表在教学中认真处理好每一个问题，认真回答学生提出的每一个问题在把握好接受性的原则下，对疑难问题不回避以严谨治学的精神影响学生，培养学生勤奋读书、刻苦钻研、理论联系实际、求实严谨的学风。其次对学生要严格要求。对于学生在学习中暴露出的一些不正确思想和做法，要及时指出，正确引导，把学生的注意力和精力引导到学习功课上来 只要能充分调动学生的学习积极性。任何学习上的困难都可以克服，复变函数的教学质量就可以得到提高。参考文献：1钟玉泉复变函数北京高等教育出版社198432姜淑珍关于复变函数论教学方法的思考J长春师范学院学报，2004，(2)3姜涛改革高师数学教育培养创新人才J数学教育学报，2000，(1)4杨春宏高师数学专业课程体系分析与探索J数学教育学报，2000，(2)
