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1、参数方程与极坐标练习二 参数方程一、 基础训练题1 已知某条曲线的参数方程为： 其中是参数。则该曲线是（ ）A 线段 B 圆 C 双曲线的一部分 D 圆的一部分2 已知某条曲线的参数方程为 则该曲线是（ ）A 线段 B 圆弧 C 双曲线的一支 D 射线3实数满足，则的最大值为： ；最小值为 。4已知直线的斜率为.经过点。点M在直线上，以的数量t为参数.则直线的参数方程为： 。5 已知直线的参数方程是（t为参数） 其中实数的范围是。则直线的倾斜角是： 。二、 典型例题例1：已知参数方程 0,2)判断点A(1,)和B(2,1)是否在方 程的曲线上. 解：把A、B两点坐标分别代入方程得 (1)，(2
2、)，在0,2)内，方程组(1)的解是，而方程组(2)无解，故A点在方程的曲线上，而B点不在方程的曲线上.例2：化参数方程（t0,t为参数）为普通方程，说明方程的曲线是什么图形.解: 由(2)解出t，得t=y1，代入(1)中，得 (y1)即 (y1)方程的曲线是顶点为(0,1),对称轴平行于x轴，开口向左的抛物线的一部分. 点拨：先由一个方程解出t，再代入另一个方程消去参数t,得到普通方程，这种方法是代入消参法.例3：将下列方程化为普通方程： (1) （为参数） (2) （t为参数） 解:(1)做(cos2+sin2+sin)(1+sin)0 0，但由于，即0. 参数方程只表示抛物线的一部分，即
3、（0） (2)解方程组得(1) (2) (1)(2)得1 从知1（提示应用均值定理） 所求的普通方程为1 (1)点拨：(1)从方程组的结构看含绝对值，三角函数，通过平方去绝对值，利用三角消参法化为普通方程； (2)观察方程组的结构，先利用消元法，求出，,再消t.方法总结：将参数方程化普通方程方法：（基本思想是消参） (1)代入消参法； (2)代数变换法（，乘方） (3)三角消参法 注意：参数取值范围对取值范围的限制.(参数方程与普通方程的等价性） 例4：以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数，将方程416化成参数的 方程是 . 解：设M()是椭圆416上异于A的任意一点，则， (0）以代入椭圆
4、方程，得=0, 另有点 所求椭圆的参数方程为 或例5 圆M的参数方程为（R0）.(1)求该圆的圆心的坐标以及圆M的半径。（2）当R固定，变化时。求圆心M的轨迹。并证明此时不论取什么值，所有的圆M都外切于一个定圆。解：（1）依题意得 圆M的方程为 故圆心的坐标为M（。（2）当变化时，圆心M的轨迹方程为（其中为参数）两式平方相加得。所以所有的圆M的轨迹是圆心在原点。半径为2R的圆由于所以所有的圆M都和定圆外切，和定圆内切。点评本题中所给的方程中含有多个参数，像这样的问题有时容易分不清哪个是真正的参数，究竟在具体的题目中哪个是真正的参数应视题目给定的条件，分清参数。例6.已知A，B分别是椭圆的右顶点
5、和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求ABC的重心的轨迹的普通方程。解：由动点C在椭圆上运动，可设C的坐标为（6cos,3）,点G的坐标为.依题意可知：A（6，0），B（0，3）由重心坐标公式可知 由此得： 即为所求。点评本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性。运用参数方程显得很简单。运算更简便。常用于解决有关最值问题。“平方法”是消参的常用方法。例7.求经过点（1，1）。倾斜角为的直线截椭圆所得的弦长。解：由条件可知直线的参数方程是：（t为参数）代入椭圆方程可得： 即设方程的两实根分别为。则则直线截椭圆的弦长是 点评利用直线参数方程的几何意义求弦长的常用方法。但必须注意：直线的参
6、数方程必须是标准形式。即 （t为参数）当且b0时才是标准形式。若不满足且b0两个条件。 则弦长为 d=三、 练习题1 在方程（为参数）所表示的曲线上的一点的坐标为 （ ）A B C D 2下列参数方程（t为参数）与普通方程表示同一曲线的方程是（ ）A B C D 3 直线与圆（为参数）的位置关系是（ ）A 相切 B 相离 C 直线过圆心 D 相交但直线不过圆心。4 设直线（t为参数）。如果为锐角，那么直线的角是（ ）A B C D 5 过点（1，1），倾斜角为的直线截椭圆所得的弦长为（ ）A B C D 6 双曲线（为参数），那么它的两条渐近线所成的锐角是： 。7 参数方程（为参数）表示的曲线的普通方程是： 。8 已知点M（2，1）和双曲线，求以M为中点的双曲线右支的弦AB所在直线的方程。9 已知椭圆的中心在原点。焦点在轴上且长轴长为4，短轴长为2。直线的参数方程为（t为参数）。当m为何值时，直线被椭圆截得的弦长为？0、求椭圆上的点到直线的最大距离和最小距离。参考答案基础训练题1C 2、A 3、5，-5 4、 5、练习题1、C 2、D 3、C 4、B 5、B 6、600 7、8、 9、 10、
