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1、三次函数专题三次函数导数应用中永远的经典【考点定位】考试说明：认识导数见解及其几何意义；会用常有基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法例求简单函数和简单复合函数的导数；认识函数单一性和导数的关系，能利用导数研究函数的单一性，会求函数的单一区间，会用导数求函数的极值和闭区间上函数的最值.问题概括：三次函数yax3bx2cxd(a0)素来是中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重要考试中频频出现相关它的独自命题.2014年高考，在全国卷、浙江卷、天津卷、安徽卷、北京卷、辽宁卷、陕西卷、江西卷、广东卷中都出现了这个函数的独自命题，特别是浙江卷（理）、北京卷（文）、广东卷（文）以压轴题的形式出现，更应
2、当惹起我们的重视.单一性和对称性最能反应这个函数的特点.平常以它为素材来研究函数的单一性、极值、最值等性质，还可交流函数、方程、不等式、等知识之间的有机联系.本文以2014年高考为例，例谈高考取的三次函数问题.【考量基础】三次函数的单一区间及闭区间上的最值例1【2014高考安徽卷第18题】设函数f(x)1(1a)xx2x3,其中a0.（1）讨论f(x)在其定义域上的单一性；（2）当x0,1时，求f(x)获取最大值和最小值时的x的值.剖析：（1）f(x)的定义域为(,)，f(x)1a2x3x2.令f(x)0，得x1143a，3x2143a，x1x2，因此f(x)3(xx1)(xx2).当xx1或
3、xx2时，f(x)0；当3x1xx2时，f(x)0.故f(x)在(,x1)和(x2,)内递减，在(x1,x2)内递加.（2）由于a0，因此x10,x20.当a4时，x21，由（1）知，f(x)在0,1上递加，因此f(x)在x0和x1处分别获取最小值和最大值.当0a4时，x21，由（1）知，f(x)在0,x2上递加，在x2,1递减，因此f(x)在xx2143a处获取最大值.又f(0)1,f(1)a，因此当30a1时，f(x)在x1处获取最小值；当a1时，f(x)在x0和x1处同事获取最小值；当/11a4时，f(x)在x0处获取最小值.议论：（此题依照导数公式求导数察看运算求解能力，判断函数单一性
4、及求最值察看抽象概括能力，逻辑思想能力以及剖析、解决问题的能力，试题中等难度）高考趋势：（本类问题在近几年高考取频频出现，利用函数单一性及分类讨论思想求最值，学生对字母的讨论会分但不全）类题操练：【2014高考广东卷文第21题】已知函数fx1x3x2ax1aR.3（1）求函数fx的单一区间；【考量能力】三次函数的图像问题例2【2014高考江西卷文第10题】在赞成直角坐标系中，函数yax2xa与ya2x32ax2xa(aR)2的图像不可以能的是（）剖析：讨论字母的取值情况，确定函数的图像特点，再利用除去法求解.分两种情况讨论.当a0时，函数为yx与yx，图象为D，故D有可能.当a0时，函数yax
5、2xa的对称轴为x1，对22a函数ya2x3ax2xa，求导得y3a2x24ax1(3ax1)(ax1)，令y0，则2x11,x21，因此对称轴x1介于两个极值点之间，A，C知足，B不知足，因此B是不可以能3aa2a的.应选B.议论：（此题是二次函数和三次函数图象的鉴识，利用导数研究函数性质，察看抽象概括能力和推理论证能力，试题难度较大）高考趋势：（本类问题结合图形剖析，察看图象的鉴识能力和创新意识，在近几年高考取凡是出现）2类题操练：【2014陕西高考理第10题】如图，某遨游器在4千米高空水平遨游，从距着陆点A的水平距离10千米处下降，已知下降遨游轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的剖析式
6、为（）（A）y1x33x（B）y2x34x12551255（）33（）331Cyxxxx125Dy1255三次函数的切线问题例3【2014高考北京卷文第20题】已知函数f(x)2x33x.（2）若过点P(1,t)存在3条直线与曲线yf(x)相切，求t的取值范围；（3）问过点A(1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线yf(x)相切（只要写出结论）剖析：（2）设过点P(1,t)的直线与曲线yf(x)相切于点(xo,yo)，则yo2xo33xo，且切线斜率为k6xo23，因此切线方程为yyo(6xo23)(xxo)，因此tyo(6xo23)(1xo)，整理得4xo36xo2t3
7、0.设g(x)4x36x2t3，则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线yf(x)相切”等价于“g(x)有3个不同样的零点”，g(x)12x212x=12x(x1)，g(x)与g(x)的情况以下：x(,0)0(0,1)1(1,)g(x)+00+g(x)t+3t1因此，g(0)t3是g(x)的极大值，g(1)t1是g(x)的极小值，当g(0)t30，即t3时，此时g(x)在区间(,1和(1,)上分别至多有1个零点，因此g(x)至多有2个零点，3当g(1)t10，t1时，此时g(x)在区间(,0)和0,)上分别至多有1个零点，因此g(x)至多有2个零点.当g(0)0且g(1)0，即3t1时，由于g(
8、1)t70，g(2)t110，因此g(x)分别为区间1,0),0,1)和1,2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(,0)和(1,)上单一，因此g(x)分别在区间(,0)和1,)上恰有1个零点.综上可知，当过点P(1,t)存在3条直线与曲线yf(x)相切时，t的取值范围是(3,1).（3）3条，2条，1条议论：（本小题主要察看导数的几何意义，导数在函数中的应用等基础知识的同时，察看分类讨论，函数与方程，转变与化归等数学思想，察看同学们剖析问题与解决问题的能力，试题难度较大.）高考趋势：（利用导数研究函数问题是高考的热点，在每年高考试卷中占分比重较大，娴熟这部分的基础知识，基此题型与基本技术是解
9、决这类问题的重点）类题操练：【2014高考全国卷新课标文第21题】已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.（1）求a；三次函数的零点问题例4【2014全国1高考理第11题】已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是（）A2,B1,C,2D,1剖析：当a0时，f(x)3x21，函数f(x)有两个零点3和3，不知足题意，舍去；当a0时，33f(x)3ax26x，令f(x)0，则x0和x2，x(,0)时，f(x)0；x(0,2)时，2,)时，f(x)aaf(x)0；x(0，且f(0)0，此时x(,0)
10、必有零点，故不知足题意，舍a4去；当a0时，x(,2)时，f(x)0；x(2,0)时，f(x)0；x(0,)时，f(x)0，aa2且f(0)0，要使得f(x)存在唯一的零点x0，且x00，只要f()0，即a24，则a2.a应选C.议论：（利用导数研究函数的图象，察看学生的推理论证能力，特别值法的运用，试题难度较大）高考趋势：（利用除去法办理选择题问题，不只能够提高试题正确率，而且能够节俭时间.三次函数零点个数总合三类情况，学生不难办理）类题操练：【2014高考全国卷新课标文第21题】已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.（2）证明：当k1时，曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点.【综合迁移】三次函数与绝对值例5【2014高考浙江卷理第22题】已知函数f(x)x33xa（aR）.（1）若f(x)在1,1上的最大值和最小值分别记为M(a),m(a)，求M(a)m(a)；剖析：由于f(x)x33x3a,xa,因此f(x)3x23,xa,由于1x1.x33x3a,xa,3x23,xa,当a1时，有xa，故f(x)x33x
