《(完整word版)对称式与轮换对称式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(完整word版)对称式与轮换对称式.doc（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、(完整word版)对称式与轮换对称式八年级实验班竞赛专题 -对称式与轮换对称式1 基本概念【定义1】一个元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的()，都有那么,就称这个代数式为元对称式，简称对称式。例如,都是对称式.如果元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为元对称多项式。由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式中，若有项,则必有项;若有项,则必有,项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同.根据对称多项式的定义，可以写出含个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母的二次对称多项式的般形式是：【定义2】如果一个元多项式的
2、各项的次数均等于同一个常数，那么称这个多项式为元次齐次多项式.由定义2知，元多项式是次齐次多项式，当且仅当对任意实数有。例如,含三个字母的三元三次齐对称式为: 。 【定义3】一个元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号,即对于任意的,都有那么就称这个代数式为元交代式。例如，均是交代式。【定义4】如果一个交代数式，如果将字母以代，代代代后代数式不变，即那么称这个代数式为元轮换对称式，简称轮换式。显然,对称式一定是轮换式,但轮换式不一定是对称式.例如，是对称式也是轮换式；是轮换式,但不是对称式。对称式、交代式、轮换式之间有如下性质：（1）两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式
3、； （2)两个同字母的交代式的和、差是交代式它们的各、商是对称式； (3）同字母的对称式与交代式的积、商是交代式; （4)两个同字母的轮换式的和、差、积、商是交代式； （5）多变无的交代多项式中必有其中任意两变元之差的因式。【定义5】下面个对称多项式称为元基本对称多项式. 例如，二元基本对称多项式是指,三元基本对称式是指当你学完了高等代数的时候就会知道，任何一个元对称多项式都可以表示为基本对称多项式的多项式。这个结论对解题的指导作用。2对称式、轮换式、交代式在解题中的应用 为了初中学生学习的需要，我们在本讲里主要介绍二元和三元的情形，对于多元的情形，只需作类似的处理即可. 下面是利用对称式、轮
4、换式、交代式解题的一些常用技巧（1）若是对称式，则在解题中可设。（为什么?） （2)若是对称式，则当满足性质时，也满足性质. （3）若是轮换式，则在解题中可设最大（小)，但不能设.（为什么？) （4）若是轮换式，且满足性质，则也满足性质。 (5）若是交代多项式，则是的因式，即其中是对称式。 其中是对称式。 在利用对称式作因式分解时,齐次对称多项式，齐次轮换对称多项式，齐次交代多项式是常用的. 齐次对称多项式的一般形式:（1）二元齐次对称多项式一次：， 二次： 三次：（2）三元齐次对称多项式 一次： 二次： 三次： 判定是否为多项式，的因式的方法是：令，计算，如果,那么就是的因式,在实际操作时，
5、可首先考虑的如下特殊情形:【例1】：已知多项式 （1）求证:是齐次式;（2)求证:是轮换式; （3）求证:是交代式;（4）分解因式。（4） 是交代多项式， 是它的因式。又因为是4次齐次式,所以它还有一个一次对称式因式。于是,可表示为【例2】：分解因式。【例3】:分解因式。【例4】：分解因式【例5】：分解因式。【例6】：分解因式。 故对称式与轮换对称式练习题：1已知(1)求证：为5次齐次式; （2）求证：为轮换式；（3)求证：为交代式； （4）分解因式。2分解因式（1)（2）（3）(4）（5）（6）（7)（8）（9）(10）练习答案与提示：12(1）可设，可求得（2）可设,可求出(3）可设,可求出（4）可设,可求出（5），可求出(6）（7）（8)（9）（10)当时，有的因式，可设，可求得， Made by wgrmll9
