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1、（2015届）本科毕业设计（论文）题 目 名 称： 球面坐标和柱面坐标在计算中的应用 学 院（部）： 理学院 专 业： 数学与应用数学 学 生 姓 名： 吴永旭 班 级： 1101 学号： 11404200413 指导教师姓名： 唐亮 职称： 讲师 最终评定成绩： 2015年湖南工业大学本科毕业论文（设计这里有你自己的东西吗？例子和公式都是粘贴的）诚信声明本人郑重声明：所呈交的毕业论文（设计），题目2011年中国各省财政收入数据的主成分分析研究是本人在指导教师的指导下，进行研究工作所取得的成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文章以明确方式注明。除此之外，本论文（设计）不包含任何其
2、他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。本人完全意识到本声明应承担的责任。 作者签名：日期：2014 年 3 月 10 日摘要三重积分和曲面积分是大学数学和数学分析中的重点同时也是难点。如果当积分的区域是圆柱面、圆锥面、或者是球面时，这个时候我们就可以利用球面坐标和柱面坐标的变换使积分的计算更为简便。纵观现有各个版本的高等数学和数学分析的系列教材中，应用柱面坐标和球面坐标来计算三重积分和曲面积分都们没有给出具体的设计公式，这使得学生很难掌握。所以球坐标、柱面坐标在计算中的应用这方面的研究可以帮助学生更好的掌握题目的计算、理清解题的思路。本文结合了数学分析、解析几何等教材以及相关的文献资料比较全
3、面的给出了运用球面坐标和柱面坐标来简化三重积分和曲面积分的方法。在运用球面坐标和柱面坐标的基础上充分的运用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性省略一部分计算，达到简化的效果。本文还归纳总结出一些学生常见的求三重积分积分限的类型以及积分域的投影区域，并提出如何确定积分限，对学生计算三重积分有一定的指导意义。关键词：球面坐标；柱面坐标；三重积分；曲面积分ABSTRACTUniversity of triple integral and surface integral are key points and difficulties in mathematics and mathematical an
4、alysis. If when the integral region is a cylinder, cone surface, or spherical, this time we can use spherical coordinates and cylindrical coordinates transform integral calculation more simple. Throughout most of the existing various version of the series of higher mathematics and mathematical analy
5、sis teaching material, the application of cylindrical coordinates and spherical coordinates to calculate the triple integral and surface integral are gave no specific design formula, make it hard for students to master. So spherical coordinates and cylindrical coordinates in calculation, the applica
6、tion of this research can help students better grasp the problems of computation, clarify the thinking of the problem solving. This paper combines the mathematical analysis, parsing, how a few materials and relevant literature of using spherical coordinates and cylindrical coordinates is given to si
7、mplify the triple integral and surface integral method. In using spherical coordinates and cylindrical coordinates on the basis of fully using the parity of integrand and symmetry of integral area of omit part of calculation, the effect of simplified. This article also summarizes some common for stu
8、dents of triple integral limit type and integral domain projection area, and puts forward how to determine the bounds, for students to have certain guiding significance to the triple integral calculation.Keywords:Spherical coordinates; Cylindrical coordinates; Triple integral.；Surface integral目录球坐标和
9、柱面坐标在计算中的应用不仅仅是在积分中的应用第一章 绪论1第二章 球坐标、柱面坐标简要简介42.1球坐标、柱面坐标的概念62.2球坐标、柱面坐标的性质6第三章球坐标、柱面坐标在三重积分计算中的应用6 3.1 三重积分限的确定6 3.2球坐标在三重积分计算中的应用 3.2.1一般情况下球面坐标三重积分的计算63.2.2利用对称性和奇偶性简化球面坐标三重积分计算63.3柱面坐标在三重积分计算中的应用63.3.1一般情况下三重积分的柱面坐标计算法63.3.2运用对称性和奇偶性简化柱面坐标三重积分计算6第四章球坐标、柱面坐标在曲面积分计算中的应用4 4.1球坐标在曲面积分计算中的应用4 4.2柱面坐标
10、在曲面积分计算中的应用6结论6致谢6参考文献6 第1章绪论第一、二章合并为绪论，1、研究意义2基础知识 三重积分和曲面积分是大学数学和数学分析中的重点但也是难点。如果当积分的区域是圆柱面、圆锥面、或者是球面时，这个时候我们就可以用球面坐标和柱面坐标的变换使积分的计算更为简便。但在现有的各个版本的高等数学系列教材中，在柱面坐标和球面坐标中计算三重积分和曲面积分都们没有给出具体的设计公式，这使得学生很难掌握。所以球坐标、柱面坐标在计算中的应用这方面的研究可以帮助学生更好的掌握题目的计算、理清解题的思路研究意义应该是讲球坐标和柱坐标在计算中的简易性等。第2章球坐标、柱面坐标简要简介2.1球坐标、柱面
11、坐标的概念 空间中与坐标原点的距离为的任意点，总可以把它看成在以远点为中心，半径为的球面上，因此当我们把球面半径看成变量时，公式就说明了空间一点的位置，如果这是把变量改写成，并设 的值都确定，那么便有 点的位置也就被确定了；反过来，空间点的位置如果已经确定，那么三个值也就确定了（如果是原点，那么分别在到与到内任意取定；如果在轴上，但不是原点，那么这时可在到内任意取定，而或）。这样就使空间的点除去轴上的点，其余的点与有序三数组建立了一一对应的关系，并把有序三数组叫做空间点的球坐标或称空间极坐标，记做，这里的，。柱坐标系简要介绍 空间中与轴的距离为的点，总可以把它看成在以轴为轴，半径为的圆柱面上，
12、因此当我们把圆柱面半径看成变量，并改用来表示时，那么由 可知的值可以确定空间一点的位置；反过来，如果点的位置确定时，那么的值也就确定（如果在轴上，那么可以任意确定），这样我们在空间中建立了另一种空间的点（除去轴上的点外）与有序三数组的一一对应关系，这里，这种一一对应的关系叫做柱坐标系，或称空间半极坐标系，并把有序三数组叫做点的柱坐标或称半极坐标，记做。2.2球坐标、柱面坐标的性质 当建立了球坐标系后，空间中点的直角坐标与球坐标之间就有了下面的关系 第3章球坐标、柱面坐标在三重积分计算中的应用 3.1三重积分限的确定作为一章来写，要用例子来说明 计算三重积分的想法是将三重积分化为三次定积分来计算
13、，其重点和关键点是确定积分限，积分的次序和选择合适的坐标系。但要确定好这些量，不仅对学生的几何直观能力有较强的要求，还需要方法和计算公式的灵活应用。要由空间立体图形的边界曲面方程在纸上画出所围成的区域很困难。所以这里归纳总结出了几种常见的求三重积分积分限的类型以及积分域的投影区域，并指出如何确定积分限，以有效解决三重积分计算，对学习者有一定的指导意义。1.由以为圆心的球面或者是椭球面所围成的区域，设这个方程为（1） 作出方程 和方程的交线在面的投影区域（2） 确定投影所围成的区域（3） 确定的积分限，从方程中解,在投影区域中比较和的大小，大的作为上限，小的作为下限。（4） 根据(2)、(3)写出曲面的积分限，计算三重积分。2.是由方程所围成的区域
