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1、专项复习（直角三角形、圆）【例题精选】：例1 已知的四个三角函数值。解：例2 已知：在解答下列问题：（1）化简：；（2）如果（3）如果解：（1）小结：是个很重要的关系，它还可以写成，等。应用它有利于化简或运算或证明。（2）（3）例3 在，（1）已知（2）已知解：（1）（2）例4 在解：过例5 在求 解： 例6 已知：如图，在上的三分之一点，求： 的正切值及它的正弦值。分析：因为所要求的是 的三角函数值，所以需把 放入一个直角三角形中，自然想到过D点作而题目的已知条件中没有给出线段长度的任何具体数据，这种情况我们常常考虑运用设参数（或叫辅助元）的方法，使之量化，完成量与量之间的沟通。解： 例7
2、一只船以每小时30海里的速度向西南方向航行，上午9时在M处发现船的南偏西方向有一灯塔P，上午11时到这座灯塔正西的N处，求这时船与灯塔的距离。解： 答：这时船与灯塔的距离为 海里。例8 已知，如图，上一点， 的度数及AC的长。解： 小结：先将所求的角和边放入直角三角形，然后找可解直角三角形，通过可解直角三角形的求解为所要求的边或角提供条件。例9 如图，且解法1：解法2：由解法1小结：在解直角三角形的有关题目时，直接求解不可解时注意利用方程或方程组的知识。例10 在以BC为底边的等腰三角形ABC中，其高AD、BE的长分别为20和24，M为AD的中点，连结BM并延长交AC于F，求BF的长。解：例1
3、1 在 已知关于 如果 是这个方程的两个根，求证：若在这个直角三角形中又有求三边的长。解：例12 如图，已知P为直径是2的圆O内的一个定点，且PO=线段AB为过点P的任一弦，且它所对的圆心角再过A和B作圆O的切线交于C，设P到AC、BC距离分别为a、b，求证：的两个根。证明：例13 已知：的一个内角，关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，且这个方程的根恰好是又 求：（1） 的度数；（2） 的值。分析：因为方程有两个相等的实数根，所以，进而可求出A的度数，再利用题目中的已知条件，列出 的等量关系，从而解决问题。解：（1）（2）【专项训练】：一、填空题：1、已知；2、确定下列各式的符号：；。3
4、、化简：；4、如果直角三角形斜边长为4，一条直角边的长为，则斜边上的高为。二、选择题：1、当的范围是ABCD2、在的值为AB1CD3、在=10，则是A3B300CD1504、ABCD5、已知，斜边AB的坡度为12，若则BCCAAB等于A12B12C1D1256、在的值为A1BCD7、在，则ABCD不能确定三、计算：1、2、3、4、四、在锐角三角形的长。五、已知：如图，的长。六、的两个根分别是一个直角三角形中两个锐角的正弦值。【答案】：一、1、2、+3、04、二、1、B2、C3、D4、A5、A6、A7、C三、1、02、3、4、四、五、六、专项复习（圆）【例题精选】：例1：如图，已知：O中，M、N
5、分别是两条弦AB，CD的中点，且AB=CD求证：分析：要证，由已知M，N分别是弦AB、CD的中点，连结OM，ON，根据垂径定理得。只要证得即可。因为中，所以证明，由已知AB=CD，可以证得OM=ON证明：连结OM，ON，分别为AB，CD的中点，例2：如图，已知，AB，CD为O的弦，且求证：分析：观察图形发现，OH与BC之间没有直接联系，这就需要找到一个相关联的量，使它与OH，BC联系起来，由可得AH=DH。连结AO并延长交O于E得到直径AOE。再连结DE，则，只要证明DE=BC问题就得以解决了。DE，BC是O中的两条弦，故证明，只需证明，由图形可知，又，所以。证明：连结AO，并延长交O于E，连
6、结DE，AC。为AD中点，又O为AE中点，故BC=DE例3：如图，已知：在，AE平分交BC于E，过C、E、D三点作圆交AE于G，CD、AE交于F点。求证：AG=FG分析：要证明AG=FG，从图形可知，即证明G是AF的中点，又因为是直角，所以AF就是斜边，我们利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”就可以把AG、FG两条线段联系起来。连结DG，只要证明DG=AG=FG。问题就得以解决。但要证明DG=AG，则要证明，要证明DG=FG，则要证明，在圆中角等的条件比较丰富，所以在证明角等时，首先要认清所证的角是圆周角，圆心角，还是圆内接四边形的外角，这样就可利用有关知识证明出相等的角，但如果所要证
7、的角不是以上提到的这些角，就找与证明的角相关的角，从这些相关的角中发现等量关系，从而证得题目要证的相等的角。证明：连结DG，例4：如图，已知：内接于O，PA切O于A，P在BC的延长线上，D为AB的中点，PD交AC于E。求证：分析：题目要证明线段的平方比等于两条线段之比，首先要结合已知图形进行分析，PA切O于A，PA2=PCPB，这样可以把化简为，所以只要证明此问题就可以得到解决。要证我们发现这四条线段，分别在两条线段上，这时添加辅助线，寻求等比代换，便问题得以证明。证明：例5：如图，已知内接于O，的平分线交BC于D，交O于E求证：分析：从求证的结论形式上看，等式右边的形式较复杂，首先把它简化，
8、从图形可知，根据相交弦定理得，BDDC=ADDE，而AD2+BDDC=AD2+ADDE=AD（AD+DE）=ADAE，这样就可以把较复杂的形式变形为两条线段的乘积，从而使题目中要证的结论转化为证明ABAC=ADAE。证明： 例6：如图，已知分别为O的割线和切线，求：分析：要求两个三角形的面积之比，由已知和图形可知，我们可以求这两个三角形相比的平方，从而求得面积的比，由题目本身所给的条件发现，已知中给的条件是，而我们所要的是边的关系，因此就应该把角的关系转化为边的关系，因为已知给的角都是特殊角，故只需添加高线即可构成特殊的直角三角形，找到边与边之间的关系，使问题得到解决。解：过C作例7：如图，已
9、知内接于O，P为O外一点，作，使PD交O于D，E两点并与AB，AC分别交于M，N（1）求证：（2）若PD/CB，求证PC是O的切线分析：（1）要证，发现这四条线段都在同一条线段PD上，因此要通过相交弦定理使，这样只要证明：即可，故证明（2）要证明PC是O的切线，连结CO证明这就要在圆中出现直角，从而找到与直角的关系。根据直径所对的圆周角是直角，延长CO到F，连结DB，则可证明从而证得PC是O的切线。证明：（1）在O中（2）连结OC，并延长交O于F，连BFO的切线例8：如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB为直径，过点D的切线交BC的延长线于点E，若，O的半径为，求BC的长及的值。分析：要求BC
10、，观察图形发现BC是半圆O的割线ECB在O内的部分，又DE切半圆O于D，可以考虑利用切割线定理来求得BC。首先根据题目的条件求得DC，CE。再利用勾股定理求得DE。要求的值，可以构造一个直角三角形，使其中的一个锐角等于，连结AC，因为AB是直径，所以是直角，可得所以只要求得即可。证明：连结AC【专项训练】：一、填空：1、已知的圆心角所对的弦长为3cm，那么所在圆的直径为 。2、已知O中，D是AB的中点，E是AC的中点，则= 3、已知C点是半径为OB的O延长线上的一点，CA切O于A，于D，AD=6，AC=10，则O的半径为 4、如图弦AB的长等于O的半径，C是上任意一点，则sinC= 5、O的割
11、线PAB交O于A，B两点，PA=1，AB=2，PO=3，则O的半径等于 。6、如图，PA、PB、CE分别切O于A，B，D三点，PA=PB=5，则的周长为 。7、在O中，的度数是，D为圆上一点，则= 8、如图，弦长AB=2a，弓形高CD=b，则弓形高所在圆的半径 二、如图，已知O的直径AB的延长线与CD的延长线相交于P，E为O上一点， ，DE交AB于点F，求证：三、在中，O是AB上一点，以O为圆心，OB 为半径的圆与AB交于E，与AC切于点D，直线ED交BC的延长线于F1、求证：BC=FC2、若ADAE=21求的值四、如图，PAB是圆O的割线，PC切O于C点，于D，求证：PBAD=PCCD。五、
12、如图，AB是O的弦，CD切O于E，于F，于C，求证：六、如图，已知O的直径为AB，C是BA延长线上一点，CD切O于D，的平分线交BD于E，AC=1，CD是O的半径的倍，求CB和DB的长，及点E到CB的距离。七、如图，是O的内接三角形，的平分线交BC于F，交O于D，DE切O于D，交AC的延长线于E，连BD，若，DE+EC=12，ACAB=23，求AB的长。【答案】：一、1、6cm；2、；3、；4、；5、；6、10；7、8、。二、证明：三、2、可证四、连结AC，BC证，再证五、连结AE、BE证明六、设O的半径R，则，由切割线定理求得R=1，CB=3，BD=，作于F，于H，于Q，通过列方程，求出E到CB的距离为七、证明：得：，再由切割线定理得ED2=ECAE，求得AB=18。
