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1、“哥德巴赫猜想”讲义（第22讲）“任一不小于4的偶数E，偶数E均可表为两个均不大于该偶数E两倍的奇素数之差”证明（1）主讲 王若仲前面我们讲了“哥德巴赫猜想”的证明，这一讲开始我们讲“任一不小于4的偶数E，偶数E均可表为两个均不大于该偶数E两倍的奇素数之差”的证明。“任一偶数均可表为两个奇素数之差”这个数学问题，与“哥德巴赫猜想”是一对姊妹数学问题，要解决的难度是相当的。为了证明“任一偶数均可表为两个奇素数之差”这个数学问题，我采用“顺筛”和“逆筛”这两种筛法，并且找到了筛法公式Y=m（1-d1p1）（1-d2p2）（1-d3p3）（1-dt-1pt-1）（1-dtpt），其中di=1或2（i
2、=1，2，3，t）。即任意给定一个比较大的偶数2m（m3），设奇素数p1，p2，p3，pt均为不大于4m的全体奇素数（pi pj ，ij，i、j=1，2，3，t），tN，对于“2m=奇数-奇数”（m3）来说，就只有下面几种情形：（1）2m=奇合数-奇合数，（2）2m=奇合数-奇素数，（3）2m=奇素数-奇合数，（4）2m=奇素数-奇素数，（5）2m=奇合数-1，（6）2m=奇素数-1。我们的目的就是要筛除掉（1）和（2）以及（3）和（5）或（6）情形中的全体奇数（因为（5）和（6）的情形不可能同时成立）。但是下面这两种情形我们不必分析讨论，偶数2m=q-p，p和 q均为奇素数；集合（2m+p1
3、），（2m+p2），（2m+p3），（2m+pt）中至少有一个奇数为奇素数。因为这两种情形，偶数2m已经可表为“奇素数-奇素数”。 我们利用上面这个筛法公式，就能够明确的判定在任意设定的集合1，3，5，7，9，（4m-1）中，完全可以筛除掉集合1，3，5，7，9，（4m-1）中的全体奇合数，完全可以筛除掉偶数2m分别加上集合1，3，5，7，9，（2m-1）中的每一个奇合数而得到的全体奇数，完全可以筛除掉集合（2m+1），（2m+3），（2m+5），（2m+7），（2m+9），（4m-1）中的每一个奇合数分别减去2m而得到的全体奇数；最后集合中剩下的奇数必定只满足“奇素数-奇素数=2m”的情形。
4、定理6：任一不小于4的偶数E，偶数E均可表为两个均不大于该偶数E两倍的奇素数之差。证明：对于任一比较大的偶数2m，mN，我们设奇素数p1，p2，p3，pr均为不大于2m的全体奇素数（pi pj ，ij，i、j=1，2，3，r），rN；设奇素数p1，p2，p3，pt均为不大于4m的全体奇素数（pi pj ，ij，i、j=1，2，3，t），tN。 因为偶数2m=（4m-1）-（2m-1）=（4m-3）-（2m-3）=（4m-5）-（2m-5）=（4m-7）-（2m-7）=（2m+3）-3=（2m+1）-1。对于“奇数-奇数=2m”的情形，则有下列几种情形：、 奇合数-奇合数=2m，、 奇合数-奇素
5、数=2m，、 奇素数-奇合数=2m，、 奇素数-奇素数=2m，、 奇合数-1=2m，、 奇素数-1=2m，所以关于“2m=奇数-奇数”的情形，我们具体分析如下：（）、对于偶数2m，设不大于偶数2m的全体奇数组成的集合为1，3，5，7，9，H，u为集合1，3，5，7，9，H中元素的个数，设不大于偶数4m的全体奇数组成的集合为1，3，5，7，9，M，W为集合1，3，5，7，9，M 中元素的个数，由引理5可知，若要在集合1，3，5，7，9，M中筛除全体奇合数，那么只须在集合1，3，5，7，9，M中筛除属于集合3p1，5p1，7p1，9p1，（2m1-1）p1中的全体元素，筛除属于集合3p2，5p2，
6、7p2，9p2，（2m2-1）p2中的全体元素，筛除属于集合3p3，5p3，7p3，9p3，（2m3-1）p3中的全体元素，筛除属于集合3pr，5pr，7pr，9pr，（2mr-1）pr中的全体元素，筛除属于集合3pt，5pt，7pt，9pt，（2mt-1）pt中的全体元素。其中（2m1-1）p1为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2m2-1）p2为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2m3-1）p3该形式下为不大于奇数M的最大奇数，（2mr-1）pr为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2mt-1-1）pt-1为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2mt-1）pt为该形式下不大于奇数M的最大奇数。
7、（）、我们令集合A=3p1，5p1，7p1，9p1，（2m1-1）p13p2，5p2，7p2，9p2，（2m2-1）p23p3，5p3，7p3，9p3，（2m3-1）p33pr，5pr，7pr，9pr，（2mr-1）pr3pt，5pt，7pt，9pt，（2mt-1）pt，则集合A中的元素均为奇合数。设关于偶数2m的全体负虚合数组成的集合为B，由定义9可知，因为集合AB中的任一元素都能组成负合对子，所以只要我们探讨得出关于偶数2m的全体负虚合数组成的集合B与全体奇合数组成集合A的并集不包含集合1，3，5，7，9，M；那么集合1，3，5，7，9，M与集合AB的差集中的任一元素必然都能组成负素对子，
8、即集合1，3，5，7，9，M与集合AB的差集中至少有两个奇素数p和q，使得p-q=2m。（1）、当偶数2m中含有奇素数因子pi（i=1，2，3，t）时，对于集合pi，3pi，5pi，7pi，9pi，（2mi-1）pi中任一奇数g，奇数（g-2m）（2mg4m）和奇数（2m+g）（0g2m）仍能被奇素数pi整除；说明奇数（g-2m）和奇数（2m+g）为奇合数或者为关于偶数2m的负虚合数。若在集合1，3，5，7，9，M中筛除属于集合pi，3pi，5pi，7pi，9pi，（2mi-1）pi中的全体元素，其中（2mi-1）pi为该形式下不大于偶数4m的最大奇数，由引理4，引理6，引理7，推论1，推论2
9、，推论3，推论4，推论5可知，那么筛除后集合1，3，5，7，9，M中剩下元素的个数X可转化为下面这种计算方式：X=W-【Wpi】W（1-1pi）。（2）、当偶数2m中不含有奇素数因子pi（i=1，2，3，t）时，对于集合pi，3pi，5pi，7pi，9pi，（2mi-1）pi中任一奇数g：、当奇数g小于偶数2m时，则奇数（2m+g）不能被奇素数pi整除；、当奇数g大于偶数2m而小于偶数4m时，则奇数（g-2m）不能被奇素数pi整除；、当奇数（2m+pi）为奇素数时，显然2m=（2m+pi）-pi，这样的情形我们不在讨论；其中（2mi-1）pi为该形式下不大于偶数4m的最大奇数。和说明奇数（2m
10、+g）或（g-2m）（除g=pi外）为奇合数或者为关于偶数2m的负虚合数。在集合1，3，5，7，9，M中除了要筛除属于集合pi，3pi，5pi，7pi，9pi，（2mi-1）pi中的全体元素，同时在集合1，3，5，7，9，M中还要筛除和中的全部情形，即要筛除4m以内pi的全体奇数倍（除pi1外）；还要筛除2m以内pi的全体奇数倍分别加上2m所得的全体奇数; 还要筛除2m至4m以内pi的全体奇数倍分别减去2m所得的全体奇数;那么由第（2）的情形，以及由引理4，引理6，引理7，推论1，推论2，推论3，推论4，推论5可知，则筛除后集合1，3，5，7，9，M中剩下元素的个数X可转化下面这种计算方式：X
11、=W-【2Wp1】W（1-2p1）。（3）、在集合1，3，5，7，9，M中筛除属于集合p1，3p1，5p1，7p1，9p1，（2m1-1）p1中的全体元素，筛除属于集合p2，3p2，5p2，7p2，9p2，（2m2-1）p2中的全体元素，筛除属于集合p3，3p3，5p3，7p3，9p3，（2m3-1）p3中的全体元素，筛除属于集合3pr，5pr，7pr，9pr，（2mr-1）pr中的全体元素筛，筛除属于集合pt，3pt，5pt，7pt，9pt，（2mt-1）pt中的全体元素，以及筛除关于偶数2m的全体负虚合数，其中包括把奇数p1，（2m+p1），p2，（2m+p2），p3，（2m+p3），pt
12、，（2m+pt）等等均看作要筛除；根据上述（1）和（2）中分析的情形，由引理5，引理7，引理9，推论1，推论2，推论3，推论4，推论5可知，我们可以把按照上述这样的情形筛除后集合1，3，5，7，9，M中最后剩下元素的个数转化为下列计算公式：Y=W-【Wp1】-+（-1）t【W（p1p2p3pt）】W（1-d1p1）（1-d2p2）（1-d3p3）（1-dt-1pt-1）（1-dtpt），其中di=1或2（i=1，2，3，t）。第1、当偶数2m中含有奇素数因子pi时，那么di取值为1；第2、当偶数2m中不含有奇素数因子pi，并且（2m+pi）为奇合数时，那么di取值为2。对于上述计算公式Y=W（
13、1-d1p1）（1-d2p2）（1-d3p3）（1-dt-1pt-1）（1-dtpt）来说，由上述第（2）和第（3）分析的情形可得，其原因是由下面的情形一步一步分析得来：Y1W（1-d1p1）；Y2W（1-d1p1）-【 W（1-d1p1）d2p2】W（1-d1p1）（1-d2p2）；Y3W（1-d1p1）（1-d2p2）-【W（1-d1p1）（1-d2p2）d3p3】W（1-d1p1）（1-d2p2）（1-d3p3）；YtW（1-d1p1）（1-d2p2）（1-d3p3）（1-dt-1pt-1）（1-dtpt）。所以从上述（1）和（2）以及（3）中分析的情形可知，实际上不应被筛除的奇数总个数的数量不小于数值Y。参考文献1戎士奎，十章数论（贵州教育出版社）1994年9月第1版2闵嗣鹤，严士健，初等数论（人民教育出版社）1983年2月第6版3刘玉琏，付沛仁，数学分析（高等教育出版社）1984年3月第1版4王文才，施桂芬，数学小辞典（科学技术文艺出版社）1983年2月第1版二一四年四月二十六日1第 1 页 共 7 页
