《高考数学专题复习讲练测——专题三 三角函数 专题复习讲练 2 三角恒等变换.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学专题复习讲练测——专题三 三角函数 专题复习讲练 2 三角恒等变换.doc（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2三角恒等变换一、复习要点三角函数式的恒等变换是解答三角函数问题的方法基础所谓三角式的恒等变换，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式同一式子的不同形状，可以暴露式子的不同整体性质，我们对式子作恒等变换的目的，就是要把我们所需的整体性质显现出来对式子的一次变形常常不能得到所需形状，须经过数次变形转化，才能达到目的如何选择变形起步点?如何一步一步把给定式子转化为所需形状?通过对例题及训练题的分析，总结归纳出思维规律来，这是本节复习的重难点；本节复习的另一重点是，如何把一个三角函数问题化归为三角式的恒等变形问题 三角式的化简、求值问题，是训练三角恒等变换的基本题型 求三角函数的最小正
2、周期、求三角函数最值、证明三角恒等式、解证三角方程或三角不等式问题，一般都要借助三角恒等变换而完成 联想三角公式与基本题型，并把二者与方程、不等式观点综合运用，这是运用三角恒等变换解答三角函数问题的思维关键例1（1）函数22的最小正周期是（）；（2）24（2）函数y=2sinxsin2x的最大值是（）；A（6427）B（89）C2D（2）（3）若（1cos）-（1sin）=1，则sin2的值等于_. 讲解：（1）本题是判定一个较复杂三角函数的最小正周期问题联想与此问题有关的基础知识与方法，想起我们会求角为的基本三角函数的最小正周期，自然产生这样一个解题念头：希望运用三角公式和概念把原函数式变形
3、为（）（或（）的形式，然后用熟知方法求出最小正周期在这一思路指导下，着重观察已知三角函数式的结构特点，朝着既定目标方向，发现用倍角公式与和角公式能完成变形工作，得解法如下： 2+22212（2（6）1， （22），故选B （2）本题是一道无附加条件的最值问题.回忆求三角函数最值的基本模型方法，想到用三角恒等变换向基本模型转化，但转化方向一下看不透，应在变形过程中逐步明朗化首先想到应用倍角公式，把原式化为y=4sinxcosx，接着思考第二步变形想法一：希望把原式化为y=Asin（x+）的形式；想法二：希望把原式化为二次函数模型这两种转化思维均受阻以后，应重新深入分析y=4sinxcosx的结构
4、特点，从中找出转化的新出路注意到y的最大值应在cosx0时取得，因此：y=4sinxcosx可视为正变量的乘积，所以y与y16sinxcosx同时取得最大值；由y的表达形式与sinx+cosx=1，联想到均值不等式，产生出想用均值不等式实施转化的思维方向设法把式子变形为能用均值不等式求最值的形式构思后，可得如下解法：当cosx0时， 当且仅当sinx=2cosx，即cosx=（13）时，等号成立故选B （3）这是一道填空题.条件为：sin与cos满足的一个方程式；目标为：求sin2的值由目标首先联想到正弦倍角公式，得sin22cos，看到了目标与条件的内在联系，萌发出解题的方程观点，想到由方程
5、组（1）（1）1，求出sin2.1，细思考感觉，先求出sin与cos的方法比较繁，暂不采取转而思考：能否对条件中的方程式实施三角恒等变换，产生出关于sin2的方程而求得其值朝着这一既定方向，运用三角恒等变换和解方程的方法，便可获得如下两种解法：解法1（1）（1）1（1）（1）11）（2）（1）1（1cos）（2）1，即（1）2（1）10解得（1）1又由|1（1）1，（1）1，1故22（1）解法2（1）（1）1sin12（）12（），即（sin）2（）10 解得sin1又因1，1故222（）2（1）例2（1）计算ctg10410的值;（2）化简2（） 讲解：（1）本题是具体角的两个基本三角函数求
6、差，形状虽简单，但两项角度均非特殊角，其倍、半角也非特殊角，也不能分拆为含特殊角的和或差，所以既无法分别求得其值，又不能用拆分角的方法，通过展开、抵消、合并得出结果这种情况下，一个有效的策略思想是，先设法将两项分散的信息聚笼贯通，希望从中能看到“某种整体特殊性”或“内在联系”，在这一思想下，想到从“切化弦”并通分入手，得 10410（1010）410（104101010） 分子中第二项能用倍角公式将角扩大，出现一新角，得（1022010） 思路1经观察可见，分子中两项的角度之和恰为特殊角30，且分母的角度与分子中第一项的角度均为10，由这种关系想到拆角法：203010，得 （102（3010）
7、10） （102（12）10（2）1010 （10）10 至此求解思路已贯通整理以上分析，得出解答如下： 原式（1010）410（10220）10（102（3010）10（102（12）10（2）1010） 思路2注意到分式化简的基本思想是对分子、分母因式分解，再行约分，而10与220的系数不同，不便于化积，加之化为同名（80与20）后两角之差的一半为30，想到拆项处理： （10220）10（802020）10 （2503020）10（5070）10） （26010）10 （2）这是一道二元三角多项式的化简问题从式子各项中含基本三角函数的名称、幂次、角度及其组合关系看式子的结构特点：第三项比前
8、两项角度复杂，组合关系复杂，而前两项为单角正弦的平方，幂次具有特殊性由此可以产生出如下三个变形方向：从分解较复杂的第三项入手，先把和角的三角函数化为单角的三角函数，从角度和幂次方面把第三项向前两项靠拢；从分解较复杂的第三项入手，先把单角化为和差角，并从角度和幂次方面把第三项向前两项靠拢；从前两项幂次的特殊性入手，先降幂，再从角度方面向第三项靠拢 若选定第一方向，则先用和角公式展开第三因子，得 222 看到第四项与前两项已经相通，拆开第四项与前两项分别合并，得 （1）（1）22 仔细观察发现：式子整体已呈现出两数和的平方展开式的形状，即式子的各部分用两数和的平方公式能贯通为一个整体： （） 再用
9、正弦和角公式，立得化简出结果： （） 整理以上变形过程，得出解法一如下：原式2（1）（1）222222（）（） 若选定第二变形方向，并在变形中运用积化和差公式，可得解法二如下：原式（）（）（）（）（）（）（12）（22）（）（12）（121）（）1（）（） 若选定第三变形方向，并在变形中运用和差化积公式，可得解法三如下：原式1（12）（22）2（）1（）（）2（）1（）（）21（）1（）（） 例3（1）求（1787817878）的值； （2）若、是方程223的两个实根，且（54），求的值 讲解：（1）从表达式中含有78和78能想到什么呢?在（78）的展式中将会出现这样的式子!于是想到思路：15（78）（178）故 原式（115（178）78115（178）78）（115）（178）（115）（178）（115）（115）（4515） 本题中运用的结构联想的思维方法在数学解题中是十分重要的 （2）由这样的条件想到韦达定理是很自然的：，（12）（3）1，5， 对吗?注意的范围！由此应有 由于的确定，不难求出（1）2（也要注意由的范围，01），（）121（21）（15）（5
