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1、万有引力 与 天文学万有引力一章是高中的重点章节，也是高考的重点。最近几年，随着“神州”系列飞船的多次升空，对于天文学问题的考查也逐渐成为热点，这些考查主要是围绕万有引力这一章节的主要知识点。对于天文学问题的考查在考试中通常有两种类型，一种是关于天文和天体运动的常识题，这类题通常以选择填空类出现，要解决它们则只有记住这些常识了。另一种题型则是能力计算和应用方面，这类题通常都涉及计算或表达式的推导，主要包括天体运动和星球表面问题。它们常常和其它的力学、运动学知识联系在一起，解决起来相当棘手。那么我们遇到这类复杂的天体问题时该怎么办呢？其实也不需要担心，只要找准问题的关键，就能很好的解决它们。好了
2、，我们先来看看怎样处理这两类天文学问题。大思路天体运动问题的关键就是要认识天体运动的特征。虽然开普勒定律告诉我们天体运动轨迹是一个椭圆，但在高中阶段所要考查的天体计算问题中，天体运动轨迹一般都认为是一个圆形，也就是说一个天体绕着另一个天体做的是圆周运动。我们知道做圆周运动是需要向心力的，那么天体做圆周运动的向心力从哪里来？只能是天体之间的万有引力。因此，我们要解决天体问题，关键就是要抓住这一点，即万有引力提供向心力。也就是有 。星球表面问题的关键就是要抓住在星球表面附近，可以认为重力等于万有引力这一关系。地球也是一个星球，所以我们也可以在处理别的星球表面重力问题时提出一个重力加速度，不妨用表示
3、，于是有。有了这两个式子，再结合我们所学习过的圆周运动的各参数之间的关系，我们就能解决各种关于天体运动的运动学参数、天体的质量、密度以及星球表面与重力有关的力学、运动学等问题。解决问题的办法就是将未知量通过这两个关系用已知量表达出来。当然，对于不同的题目使用的方法也就不一样，这就需要根据题目的需要选取合适的公式做推导分析。下面我们具体来看两个例子。 真题体验1、【2005年高考北京理综】已知地球质量大约是月球质量的81倍，地球半径大约是月球半径的4倍。不考虑地球、月球自转的影响，由以上数据可推算出（ ）A地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9:8B地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约
4、为9:4C靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为8:9D靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器线速度之比约为81:4体验思路：题目中只给了地球和月亮的质量和半径关系，而选项中除的A项之外都是与力学和运动学有关的。怎样将质量和半径与力和运动联系起来呢？由于考虑的是航天器的运动学参数，我们很容易想到通过万有引力公式与力联系起来，而通过圆周运动的向心力与运动联系起来。运用前面所说的两个基本关系，通过一些运动学表达式的推导就可以解决问题。我们可以对各选项逐一验证。体验过程：验证A选项： 由密度公式，有 ，故A错。验证B选
5、项：在星球表面附近，可以认为重力等于万有引力，即，所以，故B选项错误。验证C选项：靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器，需要的向心力都是由万有引力提供，航天器运动的轨道半径分别等于地球和月球的半径，由，得，所以，所以C正确。验证D选项：由有，故因此D错误。 2、【2001年普通高等学校春季招生考试（北京、内蒙古、安徽卷）】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。体验思路：题目所给的为周期T、间接的给出了半径，需要求质量。周期与圆周运动的各参数速度v、半径r有关，
6、通过万有引力提供向心力这一关系，可以找出星球质量与这些参数之间的关系，从而解决问题。体验过程：设两星质量分别为M1和M2，都绕连线上O点作周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O的距离分别为r1和r2由万有引力定律和向心力公式有： （1） （2） 并由关系 （3） 联立解方程可以得到：。（注意：G和是常量，可以视作已知条件）小 结：通过上面的两道高考题可以看到，无论是选择题还是计算题，解决与万有引力有关的天文学问题主要还是抓住前面所提到的两点：（1）万有引力提供向心力；（2）星球表面近似认为物体的重力等于星球对物体万有引力。抓住这两个关键点，将圆周运动中各参数关系、以及题目所给的条件结合起来，利
7、用这两点找出未知参数与已知参数之间的关系，就可以顺利的解决问题。提 示：下面这几道题虽然有时让人难以捉摸，但其根本的解题出路还是上面提到的两点，解决一切高中出现的天文学问题都应该从这两点出发，而且一定能够成功，不信你来试试！实践题1、 （2005年全国理综1）把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周。由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得（ ）A火星和地球的质量之比 B火星和太阳的质量之比C火星和地球到太阳的距离之比D火星和地球绕太阳运行速度大小之比2、 宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍
8、，则抛出点与落地点之间的距离为。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G求该星球的质量M。3、 （2005年广东物理）已知万有引力常量G，地球半径R，地球和月亮之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球运转的周期T1，地球的自转的周期T2，地球表面的重力加速度g。某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：同步卫星绕地心作圆周运动，由可得。（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出正确的解法和结果。（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。4、 某星球可视为球体，其自转周期为T，在它的两极处，用弹簧秤测得某物体重为P，在它的
9、赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为0.9P，星球的平均密度是多少？实践题答案实践1 指点迷津 这道题为2005年高考题，从题意看只涉及圆周运动的各运动学参数如半径、速度、周期以及质量等问题。因此我们可以利用前面所提到的天体圆周运动与万有引力关系式，结合圆周运动学公式逐一对各选项进行验证。实践略解 火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周，以 M表示太阳质量，m表示火星或地球质量，火星、地球与太阳之间的万有引力提供圆周运动向心力，即有，因此由 ，可知C、D正确，A、B错误。本题正确答案为CD。实践2指点迷津 题目考查的是与平抛运动、重力、万有引力有关的知识点。除了需掌握平抛运动的知识点外，重要的是把握万
10、有引力等于重力这一关键点。掌握这一点，就可以计算出该星球的等效重力加速度，这样整个问题相当于在地球上发生，处理的则只是一个平抛运动学问题，只是原来的g被所代替。实践略解 抛出点高度h、水平射程x与L之间有关系x2h2L2。当初速度增加到2倍时，由平抛运动学知识，水平射程也增加到2倍变为2x，则有，有以上两式可以解出h值，再由公式，可以求出。再由万有引力提供重力关系可以求出。实践3指点迷津 这道题的两问都是建立在本专题所提到的两点之上的。其中第一问是对已给出的解答过程进行判断，需要注意的是万有引力定律公式中各参数的意义，这属于对基本概念的了解，只要能理解该公式就能解决。第二问是对质量的求解。前面
11、提到过的万有引力、圆周运动的向心力、重力各公式中均出现了质量这一参数，适当运用前面提到的两点关键就可以构造等式，求得质量。实践略解 （1）地球半径R在计算过程中不能忽略。正确的解法和结果为：（2）利用万有引力与圆周运动向心力和重力的关系有：方法一：万有引力提供月球绕地作圆周运动的向心力，因此有，故有方法二：在地球表面重力近似等于万有引力：，故有实践4指点迷津 我们前面提到重力等于地球对表面物体的万有引力，但并不能说重力就是地球对物体的吸引力这是由于万有引力的一部分提供了物体随地球做自转所需的向心力了，另一部分则作为重力出现。严格地讲，只有在两极处，重力才等于地球对物体的万有引力；在地球的其他地方，重力都小于地球对物体的万有引力但由于重力与地球对物体的万有引力差别极小，一般题目并不考查这一点，所以通常近似视为重力等于地球对物体的万有引力，考虑了万有引力则不需考虑重力。本题所考查的就是对这一知识点的认识。实践略解 在两极处重力等于万有引力，故有；在赤道处，因为星球自转物体做匀速圆周运动，其向心力则由万有引力和弹簧秤拉力的合力所提供，因此有，由以上两式可以解得星球的质量。由数学知识知道体积为，故有。
